Rešavanje linearnih jednačina

29. October 2011. 94 comments

Problem: Treba rešiti sledeću jednačinu:

\frac{3}{5}\cdot \left( 2x+3 \right)-\frac{x}{3}=3-x

Uvodni deo: Rešavanje ovakvih jednačina može biti problematično. Najčešće pomislimo: “Uh, šta sad da radim? Ovo mora da je teško!” Međutim, ne mora da bude teško.

Ovu jednačinu rešićemo tako što ćemo sistematizovati postupak za rešavanje ovakvih jednačina. Znači, napravićemo ALGORITAM za rešavanje korak po korak.

Najpre, par reči o samom pojmu jednačine. Jednačina označava jednakost izraza sa LEVE i izraza sa DESNE strane znaka “=”. Možemo je zamisliti kao vagu sa dva tasa koji su u ravnoteži. Ako dodamo nešto na levi tas vage, moramo isto to da dodamo i na desni tas da bi vaga ostala u ravnoteži. Takođe, ako oduzmemo nešto sa desnog tasa vage, isto to moramo da oduzmemo i sa levog tasa.

Sve u svemu, pravilo bi bilo: Šta radimo sa jedne strane jednakosti, isto moramo da uradimo i sa druge strane da bi jednakost ostala jednakost. Ovo je osnovno pravilo koga ćemo se držati nadalje.

Rešavanje prostih linearnih jednačina: Za početak, opisaćemo rešavanje najjednostavnijih linearnih jednačina oblika A·x=B, gde su A i B neki realni brojevi, a x nepoznata vrednost.

Cilj je da se oslobodimo broja A sa leve strane jednačine. Najpre, podelićemo levu i desnu stranu brojem A, i dobijamo:

A\cdot x=B {delimo levu i desnu stranu sa A}

\frac{A\cdot x}{A}=\frac{B}{A} {skratimo A u imeniocu i A u brojiocu sa leve strane}

x=\frac{B}{A} {broj B/A je rešenje ove jednačine J}

PRIMER 1:

5x=4 {jednačina koju treba rešiti}

\frac{5x}{5}=\frac{4}{5} {delimo sa 5 levu i desnu stranu jednačine}

x=\frac{4}{5}  {skratimo 5 u imeniocu i 5 u brojiocu sa leve strane i dobijamo rešenje}   

Koraci: Pri rešavanju linearnih jednačina držaćemo se sledećih važnih koraka:

1. korak – OSLOBODIMO SE ZAGRADA;

2. korak – OSLOBODIMO SE RAZLOMAKA (ako se posle ovog koraka opet jave zagrade, vratimo se na korak 1);

3. korak – NEPOZNATI LEVO, POZNATI DESNO;

4. korak – REŠIMO PROSTU LINEARNU JEDNAČINU 😉

Objasnimo svaki korak posebno.

1. korak – OSLOBODIMO SE ZAGRADA

U ovom koraku oslobodićemo se zagrada u jednačini (ukoliko ih uopšte ima, naravno J ). To radimo koristeći odobinu DISTRIBUTIVNOSTI.

Distributivnost:

A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C

{svaki iz zagrade množimo sa A}

Takođe, u ovom koraku može se javiti i množenje polinoma koje se, opet, svodi na distributivnost:

Množenje binoma:

(A+B)\cdot (C+D)=A\cdot C+A\cdot D+B\cdot C+B\cdot D

{svaki iz prve zagrade množimo sa svakim iz druge zagrade}

PRIMER 2:

5\cdot (x+2)= {problem koji treba rešiti: osloboditi se zagrada}

=5\cdot x+5\cdot 2= {x i 2 iz zagrade množimo sa 5}

=5x+10  {nema više zagrada J}

PRIMER 3:

(x-2)\cdot (x+4)= {problem koji treba rešiti: osloboditi se zagrada}

=x\cdot x+x\cdot 4+(-2)\cdot x+(-2)\cdot 4= {x i -2 iz prve zagrade množimo sa x i 4 iz druge}

={{x}^{2}}+4x-2x-8={{x}^{2}}+2x-8  {nema više zagrada J}

2. korak – OSLOBODIMO SE RAZLOMAKA

Posmatrajmo sledeći zadatak: \frac{x}{3}=\frac{1}{2}

Množenjem leve i desne strane nekim brojem i skraćivanjem imenioca, možemo se osloboditi razlomaka. Međutim, problem je koji je to broj?

Ako pomnožimo sa 3, skratićemo razlomak na levoj strani, ali nam ostaje onaj na desnoj. Ako, pak, množimo sa 2, skratićemo onaj na desnoj, dok nam razlomak na levoj ostaje. Dakle, treba nam broj koji može da se skrati sa oba imenioca, i 2 i 3. Najmanji takav broj je najmanji zajednjički sadržilac (NZS) brojeva 2 i 3, a to je broj 6.

Dakle, ako pomnožimo levu i desnu stranu jednačine sa 6, pokratićemo i levi i desni razlomak i izgubiti ih. J

\frac{x}{3}=\frac{1}{2} {NZS za 2 i 3 je 6}

\frac{x}{3}\cdot 6=\frac{1}{2}\cdot 6 {množimo levu i desnu stranu sa 6}

x\cdot 2=1\cdot 3 {skratimo razlomke i izgubimo imenioce}

2x=3 {dobijemo prostu linearnu jednačinu…}

x=\frac{3}{2} {… koju već znamo da rešimo 😉 }

Dakle, pravilo bi bilo sledeće: Da bi se oslobodili razlomaka u jednačini, množimo je sa NZS svih imenioca u jednačini.
PRIMER 4:\frac{3x}{5}=\frac{1}{2}-\frac{2}{3}  {Imenioci su, u ovom slučaju, brojevi 5, 2 i 3, a NZS(5,2,3)=30}

30\cdot \frac{3x}{5}=30\cdot \left( \frac{1}{2}-\frac{2}{3} \right)  {množimo levu i desnu stranu jednačine sa 30}

30\cdot \frac{3x}{5}=30\cdot \frac{1}{2}-30\cdot \frac{2}{3}  {oslobodimo se novodobijenih zagrada koristeći distributivnost}

6\cdot 3x=15\cdot 1-10\cdot 2  {sredimo levu i desnu stranu}

18x=15-20  {oduzmemo brojeve sa desne strane}

18x=-5  {rešimo prostu linearnu jednačinu}

x=-\frac{5}{18}    {Kraj 😉 }

NAPOMENA: Moguće je da se nakon ovog koraka opet pojave zagrade. U tom slučaju se opet vraćamo na korak 1.

3. korak – НЕПОЗНАТИ ЛЕВО, ПОЗНАТИ ДЕСНО

U ovom koraku cilj nam je da se svi nepoznati budu na levoj, a svi poznati na desnoj strani.

NAPOMENA: Setimo se da više nemamo ni zagrade ni razlomke što nam poprilično olakšava posao.

Znak svakog elementa u jednačini vezaće se za taj element tako da gde god da pomerimo element, znak ide sa njim. To znači da je 2x-3 isto što i -3+2x jer je ispred elementa 2x znak +, e ispred elementa 3 znak -.

Kako svi nepoznati moraju da budu na levoj strani prebacićemo sve elementi koji sadrže nepoznatu na levu stranu, a sve poznate na desnu. Naravno, one koji su već na svojoj strani nećemo da premeštamo.

Najvažnije pravilo u ovom koraku je: Kad menja stranu, menja i znak.

PRIMER 5:\underline{3x}+4=18\underline{-2x} {elementi koji sadrže nepoznate su 3x i -2x (podvučeni), pa njih moramo da prebacimo na levu stranu jednačine}

3x\underline{+4}=\underline{18}-2x {elementi koji su poznati su brojevi 4 i 18 (podvučeni) pa njih prebacujemo na desnu stranu jednačine}

3x+4=18\underleftarrow{-2x} {kako je 3x već sa leve strane njega ne diramo, ali je -2x sa desne strane, i njega prebacujemo na levu i pritom menjamo znak pa od -2x dobijamo +2x}

3x\underrightarrow{+4}+2x=18 {18 je poznat broj i već se nalazi na desnoj strani pa njega ne diramo, ali je 4 poznat broj i na levoj je strani pa ga prebacujemo na desnu i menjamo mu znak i on postaje -4}

3x+2x=18-4 {sada su svi nepoznati levo, a svi poznati desno pa možemo da sredimo obe strane}

5x=14 {opet smo dobili prostu jednačinu koju znamo da rešimo}

x=\frac{14}{5} {Kraj J}

4. korak – REŠIMO PROSTU LINEARNU JEDNAČINU

Ovaj korak smo već objasnili pa nema potrebe da se zadržavamo kod njega. J

Primena koraka: Sada ćemo primeniti ova četiri koraka na jednačinu s početka izlaganja:

1. korak – OSLOBODIMO SE ZAGRADA\frac{3}{5}\cdot \left( 2x+3 \right)-\frac{x}{3}=3-x {oslobodimo se zagrade na levoj strani}

\frac{3}{5}\cdot 2x+\frac{3}{5}\cdot 3-\frac{x}{3}=3-x {sređivanjem dobijamo jednačinu bez zagrada}

2. korak – OSLOBODIMO SE RAZLOMAKA

\frac{6x}{5}+\frac{9}{5}-\frac{x}{3}=3-x {NZS(5,3)=15 pa jednačinu množimo sa 15}

15\cdot \left( \frac{6x}{5}+\frac{9}{5}-\frac{x}{3} \right)=15\cdot \left( 3-x \right) {primenimo distributivnost}

15\cdot \frac{6x}{5}+15\cdot \frac{9}{5}-15\cdot \frac{x}{3}=15\cdot 3-15\cdot x {skratimo razlomke}

3\cdot 6x+3\cdot 9-5\cdot x=45-15x

18x+27-5x=45-15x {sređivanjem dobijamo jednačinu bez zagrada i razlomaka}

3. korak – NEPOZNATI LEVO, POZNATI DESNO

\underline{18x}+27\underline{-5x}=45\underline{-15x} {elementi koji sadrže nepoznatu su podvučeni, a ostali su poznati}

18x-5x+15x=45-27 {prebacili smo -15x na levu, a 27 na desnu stranu i pri tome im promenili znak}

28x=18 {dobili smo prostu linearnu jednačinu}

4. korak – REŠIMO PROSTU LINEARNU JEDNAČINU

x=\frac{18}{28} {rešimo prostu linearni jednačinu i skratimo razlomak sa desne strane}

x=\frac{9}{14} {i evo rešenja J}

Na žalost, ovaj postupak ne može da reši baš svaku jednačinu, ali će vam sigurno pomoći kod onih koje se najčešće javljaju. Cilj cele ove priče je da, kada dobijete zadatak da rešite neku linearnu jednačinu, ne gubite vreme razmišljajući: “Šta sada da radim?”, već da odmah krenete u rešavanje, korak po korak.

Nadam se da će vam pomoći .

Srećno! J

Advertisements

Čemu služi blog Matematikon?

9. October 2011. Leave a comment

Blog Matematikon pokrenut je sa ciljem da pomogne osnovcima i srednjoškolcima da lakše savladaju gradivo iz matematike.

Ideja je da se na što jednostavniji i razumljiv način objasne svi oni pojmovi i lekcije koji učenicima otežavaju praćenje redovne nastave.

Categories: Ostalo