Archive

Archive for the ‘Osnovna škola’ Category

Razlomci

30. October 2011. Leave a comment

* Prevođenje decimalnog zapisa u razlomak i obrnuto:

Decimalni zapis -> Razlomak

Prevođenje iz decimalnog zapisa u razlomak vršimo tako što taj broj izjednačimo sa razlomkom čiji je brojilac jednak početnom broju ali bez zareza, a u imeniocu pišemo 1 i dodamo onoliko nula koliko imamo decimala iza zareza u zapisu tog broja.

Razlomak -> Decimalni zapis

Prevođenje razlomka u decimalni zapis vrši se jednostavno deljenjem brojioca imeniocem 🙂 .

* Upoređivanje razlomaka

Pravilo 1: Ako dva razlomka imaju isti imenilac, veći je onaj čiji je brojilac veći.

Pravilo 2: Ako dva razlomka imaju isti brojilac, veći je onaj čiji je brojilac manji.

Pravilo 3: Ako dva razlomka imaju različite i imenioce i brojioce, treba ih proširiti tako da imaju iste imenioce, a zatim primeniti pravilo 1. 🙂

Advertisements
Categories: Osnovna škola

Zadaci sa školskih takmičenja za VIII razred

30. October 2011. Leave a comment

ŠKOLSKO TAKMIČENJE 1990.

VIII RAZRED

  1. Odredi skup tačaka u ravni xOy koje zadovoljavaju jednačinu y = |x| + x.
  2. Na školskom takmičenju je bilo 240 učenika. Polovinu učenika čine 3/5 devojčica i 3/7 dečaka. Koliko je bilo dečaka, a koliko devojčica
  3. Pomoću tačaka skupa S, takvih da su svake tri nekolinearne, a svake četiri nekomplanarne, određebno je dva puta više ravni nego pravih. Koliko pravih i koliko ravni određuju tačke skupa S?
  4. Dužine ivica kvadra izražavaju se sa tri uzastopna cela broja. Izračunaj površinu i zapreminu kvadra ako se zna da mu je dijagonalni presek kvadrat.
  5. U unutrašnjoj oblasti diedra sa uglom od 120° izabrana je tačka P koja je udaljena po 4cm od obe strane diedra. Izračunaj najkraće rastojanje tačke P od ivice diedra.

ŠKOLSKO TAKMIČENJE 1991.

VIII RAZRED

  1. Reši nejednačinu x – 2|x| > 2.
  2. Koliko ima četvorocifrenih brojeva čija je prva cifra paran broj, druga cifra prost broj, treća neparan broj, a četvrta složen broj.
  3. Tri čoveka treba da podele 21 posudu sa medom (7 punih, 7 do pola ispunjenih i 7 praznih). Kako to da urade, a da svako dobije jednaku količinu meda i jednak broj posuda?
  4. Nad hipotenuzom pravouglog trougla čije su katete a i b konstruisan je kvadrat. Koliko je središte kvadrata udaljeno od temena pravouglog trougla?
  5. Prava četvorostrana prizma visine 2dm ima za bazu romb čije su dijagonale 1dm i 24dm. Izračunaj površinu i zapreminu prizme.

ŠKOLSKO TAKMIČENJE 1992.

VIII RAZRED

  1. Među n datih tačaka ne postoje četiri koje pripadaju jednoj ravni. Ako je broj ravni koje one određuju 35 puta veći od broja tačaka, odredi koliko pravih određuju ove tačke.
  2. Dokazati da je razlika kvadrata bilo koja dva neparna broja deljiva sa 8.
  3. Reši jednačinu |2x – 1| + 2x = 3.
  4. Odrediti razlomak koji je jednak periodičnom razvoju 0,818181…
  5. Oko jednakokrakog trapeza čije su osnovice 24cm i 10cm. a visina jednaka srednjoj liniji, opasan je krug. Odredi koliko procenata površine kruga zauzima trapez.

ŠKOLSKO TAKMIČENJE 1993.

VIII RAZRED

    1. Neka su na mimoilaznim pravama p i q date tačke A, B, C Πp i D, E Πq. Koliko ravni određuju tačke A, B, C, D, E, F ako tačka F ne pripada ni jednoj od pravih određenim tačkama A, B, C, D, E?
    2. Reši nejednačinu .
    3. Krugovi k1 i k2 sa centrima O1 i O2 dodiruju se spolja u tači B. Sečica kroz tačku B seče krugova k1 i k2 redom u tačkama A i C. Dokazati da su tangente ovih krugova u tačkama A i C paralelne.
  1. Dokaži da je izraz 8n + 8n+1 + 8n+2 deljiv sa 584 (nÎN).
  2. Od kocke čija je ivica 10cm odrezana je njena trećina, kao što je prikazano na slici. Izračunaj dužine x i y.

ŠKOLSKO TAKMIČENJE 1994.

VIII RAZRED

  1. Date su tačke A i B sa raznih strana date ravni α i njihove normalne projekcije A’ i B’ na ravan α.
    1. Nacrtati odgovarajuću sliku.
    2. Izračunati dužinu duži AB ako je A’B’=AA’=8cm i BB’=7cm.
  2. Od kocke ivice 6cm, sa četiri ravni normalne na bazu, odsečene su četiri jednake trostrane prizme, tako da su im baze jednakokrako pravougli trouglovi. Ostatak kocke predstavlja prizmu čija je baza pravilan osmougao. Izračunaj zapreminu pravilne osmostrane prizme.
  3. Koji broj treba dodati imeniocu i brojiocu razlomka 34/53 da bi se dobio razlomak jednak sa 4/5?
  4. Vozeći ravnomerno 15 minuta biciklista je prešao polovinu puta AB. Drugu polovinu je vozio brzinom za 6km/hmanjom od prvobitne brzine. Tako je ceo put od A do B prešao za 33 minuta. Odrediti brzinu kretanja bicikliste i dužinu puta AB.

ŠKOLSKO TAKMIČENJE 1995.

VIII RAZRED

  1. Dat je razlomak čiji je imenilac za 1995 veći od njegovog brojioca. Ako se datom razlomku doda 1/3 dobije se razlomak koji je tri puta veći od brvobitnog. Koliki je imenilac, a koliki brojilac datog razlomka?
  2. Rešiti nejednačinu

    .

  3. Sveža trava sadrži 80% vode, a seno svega 20%. Koliko treba sveže trave da bi se dobila 1 tona sena?
  4. Dat je konveksan četvorougao ABCD. Ako je O presek njegovih dijagonala, onda je: P(ΔAOB)·P(ΔCOD)= P(ΔBOC)·P(ΔDOA). Dokazati.
  5. Kocka ABCDA’B’C’D’ čija ivica ima dužinu a presečena je sa ravni π koja sadrži tačke A, C i D’. Odredi površinu preseka kocke sa ravni π. Odredi zapremine delova na koje ravan π deli kocku.
Categories: Osnovna škola

Rešavanje linearnih jednačina

29. October 2011. 94 comments

Problem: Treba rešiti sledeću jednačinu:

\frac{3}{5}\cdot \left( 2x+3 \right)-\frac{x}{3}=3-x

Uvodni deo: Rešavanje ovakvih jednačina može biti problematično. Najčešće pomislimo: “Uh, šta sad da radim? Ovo mora da je teško!” Međutim, ne mora da bude teško.

Ovu jednačinu rešićemo tako što ćemo sistematizovati postupak za rešavanje ovakvih jednačina. Znači, napravićemo ALGORITAM za rešavanje korak po korak.

Najpre, par reči o samom pojmu jednačine. Jednačina označava jednakost izraza sa LEVE i izraza sa DESNE strane znaka “=”. Možemo je zamisliti kao vagu sa dva tasa koji su u ravnoteži. Ako dodamo nešto na levi tas vage, moramo isto to da dodamo i na desni tas da bi vaga ostala u ravnoteži. Takođe, ako oduzmemo nešto sa desnog tasa vage, isto to moramo da oduzmemo i sa levog tasa.

Sve u svemu, pravilo bi bilo: Šta radimo sa jedne strane jednakosti, isto moramo da uradimo i sa druge strane da bi jednakost ostala jednakost. Ovo je osnovno pravilo koga ćemo se držati nadalje.

Rešavanje prostih linearnih jednačina: Za početak, opisaćemo rešavanje najjednostavnijih linearnih jednačina oblika A·x=B, gde su A i B neki realni brojevi, a x nepoznata vrednost.

Cilj je da se oslobodimo broja A sa leve strane jednačine. Najpre, podelićemo levu i desnu stranu brojem A, i dobijamo:

A\cdot x=B {delimo levu i desnu stranu sa A}

\frac{A\cdot x}{A}=\frac{B}{A} {skratimo A u imeniocu i A u brojiocu sa leve strane}

x=\frac{B}{A} {broj B/A je rešenje ove jednačine J}

PRIMER 1:

5x=4 {jednačina koju treba rešiti}

\frac{5x}{5}=\frac{4}{5} {delimo sa 5 levu i desnu stranu jednačine}

x=\frac{4}{5}  {skratimo 5 u imeniocu i 5 u brojiocu sa leve strane i dobijamo rešenje}   

Koraci: Pri rešavanju linearnih jednačina držaćemo se sledećih važnih koraka:

1. korak – OSLOBODIMO SE ZAGRADA;

2. korak – OSLOBODIMO SE RAZLOMAKA (ako se posle ovog koraka opet jave zagrade, vratimo se na korak 1);

3. korak – NEPOZNATI LEVO, POZNATI DESNO;

4. korak – REŠIMO PROSTU LINEARNU JEDNAČINU 😉

Objasnimo svaki korak posebno.

1. korak – OSLOBODIMO SE ZAGRADA

U ovom koraku oslobodićemo se zagrada u jednačini (ukoliko ih uopšte ima, naravno J ). To radimo koristeći odobinu DISTRIBUTIVNOSTI.

Distributivnost:

A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C

{svaki iz zagrade množimo sa A}

Takođe, u ovom koraku može se javiti i množenje polinoma koje se, opet, svodi na distributivnost:

Množenje binoma:

(A+B)\cdot (C+D)=A\cdot C+A\cdot D+B\cdot C+B\cdot D

{svaki iz prve zagrade množimo sa svakim iz druge zagrade}

PRIMER 2:

5\cdot (x+2)= {problem koji treba rešiti: osloboditi se zagrada}

=5\cdot x+5\cdot 2= {x i 2 iz zagrade množimo sa 5}

=5x+10  {nema više zagrada J}

PRIMER 3:

(x-2)\cdot (x+4)= {problem koji treba rešiti: osloboditi se zagrada}

=x\cdot x+x\cdot 4+(-2)\cdot x+(-2)\cdot 4= {x i -2 iz prve zagrade množimo sa x i 4 iz druge}

={{x}^{2}}+4x-2x-8={{x}^{2}}+2x-8  {nema više zagrada J}

2. korak – OSLOBODIMO SE RAZLOMAKA

Posmatrajmo sledeći zadatak: \frac{x}{3}=\frac{1}{2}

Množenjem leve i desne strane nekim brojem i skraćivanjem imenioca, možemo se osloboditi razlomaka. Međutim, problem je koji je to broj?

Ako pomnožimo sa 3, skratićemo razlomak na levoj strani, ali nam ostaje onaj na desnoj. Ako, pak, množimo sa 2, skratićemo onaj na desnoj, dok nam razlomak na levoj ostaje. Dakle, treba nam broj koji može da se skrati sa oba imenioca, i 2 i 3. Najmanji takav broj je najmanji zajednjički sadržilac (NZS) brojeva 2 i 3, a to je broj 6.

Dakle, ako pomnožimo levu i desnu stranu jednačine sa 6, pokratićemo i levi i desni razlomak i izgubiti ih. J

\frac{x}{3}=\frac{1}{2} {NZS za 2 i 3 je 6}

\frac{x}{3}\cdot 6=\frac{1}{2}\cdot 6 {množimo levu i desnu stranu sa 6}

x\cdot 2=1\cdot 3 {skratimo razlomke i izgubimo imenioce}

2x=3 {dobijemo prostu linearnu jednačinu…}

x=\frac{3}{2} {… koju već znamo da rešimo 😉 }

Dakle, pravilo bi bilo sledeće: Da bi se oslobodili razlomaka u jednačini, množimo je sa NZS svih imenioca u jednačini.
PRIMER 4:\frac{3x}{5}=\frac{1}{2}-\frac{2}{3}  {Imenioci su, u ovom slučaju, brojevi 5, 2 i 3, a NZS(5,2,3)=30}

30\cdot \frac{3x}{5}=30\cdot \left( \frac{1}{2}-\frac{2}{3} \right)  {množimo levu i desnu stranu jednačine sa 30}

30\cdot \frac{3x}{5}=30\cdot \frac{1}{2}-30\cdot \frac{2}{3}  {oslobodimo se novodobijenih zagrada koristeći distributivnost}

6\cdot 3x=15\cdot 1-10\cdot 2  {sredimo levu i desnu stranu}

18x=15-20  {oduzmemo brojeve sa desne strane}

18x=-5  {rešimo prostu linearnu jednačinu}

x=-\frac{5}{18}    {Kraj 😉 }

NAPOMENA: Moguće je da se nakon ovog koraka opet pojave zagrade. U tom slučaju se opet vraćamo na korak 1.

3. korak – НЕПОЗНАТИ ЛЕВО, ПОЗНАТИ ДЕСНО

U ovom koraku cilj nam je da se svi nepoznati budu na levoj, a svi poznati na desnoj strani.

NAPOMENA: Setimo se da više nemamo ni zagrade ni razlomke što nam poprilično olakšava posao.

Znak svakog elementa u jednačini vezaće se za taj element tako da gde god da pomerimo element, znak ide sa njim. To znači da je 2x-3 isto što i -3+2x jer je ispred elementa 2x znak +, e ispred elementa 3 znak -.

Kako svi nepoznati moraju da budu na levoj strani prebacićemo sve elementi koji sadrže nepoznatu na levu stranu, a sve poznate na desnu. Naravno, one koji su već na svojoj strani nećemo da premeštamo.

Najvažnije pravilo u ovom koraku je: Kad menja stranu, menja i znak.

PRIMER 5:\underline{3x}+4=18\underline{-2x} {elementi koji sadrže nepoznate su 3x i -2x (podvučeni), pa njih moramo da prebacimo na levu stranu jednačine}

3x\underline{+4}=\underline{18}-2x {elementi koji su poznati su brojevi 4 i 18 (podvučeni) pa njih prebacujemo na desnu stranu jednačine}

3x+4=18\underleftarrow{-2x} {kako je 3x već sa leve strane njega ne diramo, ali je -2x sa desne strane, i njega prebacujemo na levu i pritom menjamo znak pa od -2x dobijamo +2x}

3x\underrightarrow{+4}+2x=18 {18 je poznat broj i već se nalazi na desnoj strani pa njega ne diramo, ali je 4 poznat broj i na levoj je strani pa ga prebacujemo na desnu i menjamo mu znak i on postaje -4}

3x+2x=18-4 {sada su svi nepoznati levo, a svi poznati desno pa možemo da sredimo obe strane}

5x=14 {opet smo dobili prostu jednačinu koju znamo da rešimo}

x=\frac{14}{5} {Kraj J}

4. korak – REŠIMO PROSTU LINEARNU JEDNAČINU

Ovaj korak smo već objasnili pa nema potrebe da se zadržavamo kod njega. J

Primena koraka: Sada ćemo primeniti ova četiri koraka na jednačinu s početka izlaganja:

1. korak – OSLOBODIMO SE ZAGRADA\frac{3}{5}\cdot \left( 2x+3 \right)-\frac{x}{3}=3-x {oslobodimo se zagrade na levoj strani}

\frac{3}{5}\cdot 2x+\frac{3}{5}\cdot 3-\frac{x}{3}=3-x {sređivanjem dobijamo jednačinu bez zagrada}

2. korak – OSLOBODIMO SE RAZLOMAKA

\frac{6x}{5}+\frac{9}{5}-\frac{x}{3}=3-x {NZS(5,3)=15 pa jednačinu množimo sa 15}

15\cdot \left( \frac{6x}{5}+\frac{9}{5}-\frac{x}{3} \right)=15\cdot \left( 3-x \right) {primenimo distributivnost}

15\cdot \frac{6x}{5}+15\cdot \frac{9}{5}-15\cdot \frac{x}{3}=15\cdot 3-15\cdot x {skratimo razlomke}

3\cdot 6x+3\cdot 9-5\cdot x=45-15x

18x+27-5x=45-15x {sređivanjem dobijamo jednačinu bez zagrada i razlomaka}

3. korak – NEPOZNATI LEVO, POZNATI DESNO

\underline{18x}+27\underline{-5x}=45\underline{-15x} {elementi koji sadrže nepoznatu su podvučeni, a ostali su poznati}

18x-5x+15x=45-27 {prebacili smo -15x na levu, a 27 na desnu stranu i pri tome im promenili znak}

28x=18 {dobili smo prostu linearnu jednačinu}

4. korak – REŠIMO PROSTU LINEARNU JEDNAČINU

x=\frac{18}{28} {rešimo prostu linearni jednačinu i skratimo razlomak sa desne strane}

x=\frac{9}{14} {i evo rešenja J}

Na žalost, ovaj postupak ne može da reši baš svaku jednačinu, ali će vam sigurno pomoći kod onih koje se najčešće javljaju. Cilj cele ove priče je da, kada dobijete zadatak da rešite neku linearnu jednačinu, ne gubite vreme razmišljajući: “Šta sada da radim?”, već da odmah krenete u rešavanje, korak po korak.

Nadam se da će vam pomoći .

Srećno! J