O meni

Zovem se Bojan Bogdanović i živim u Brestovcu blizu Leskovca.

Završio sam osnovnu školu u Brestovcu, Gimnaziju u Leskovcu i PMF u Nišu.
Predajem matematiku u osnovnoj školi u Brestovcu i srednjoj tehničkoj školi u Bojniku.
Osim matematike, bavim se i maketarstvom.

  1. Mary
    29. October 2011. at 6:39 pm

    Svaka cast Boki !

    • 30. October 2011. at 12:35 am

      Hvala puno, Mary. Svaki predlog, komentar i kritika su itekako dobrodošli.🙂

  2. 20. November 2011. at 3:31 pm

    Svaka čast kolega. Mnogo mi se sviđa tvoj blog…. Preporučiću ga svojim učenicima.

    • 2. December 2011. at 11:02 pm

      Hvala kolega. Nadam se da će biti od koristi.

  3. 30. January 2012. at 3:21 pm

    Što ne pišete, kolega? Tužno bi bilo da ne nastavite, tako ste dobro počeli😀

    • 18. February 2012. at 7:18 am

      Hvala puno na podršci. Imam još ideja pa pokušavam da ih realizujem jednu po jednu🙂 .
      Inače, uspeo sam da prebacim formule direktno iz Worda na blog. Koristim MathType 6.7 koji ima već ugrađen prevodilac prilagođen upravo Wordpresu. Najpre se dokument otkuca u Wordu koristeći MathType za kreiranje formula, zatim se ide na opciju Publish->Blog pri čemu se otvara nov prozor.
      On dosta liči na Word 2007 pa ima i karticu MathType i opciju Convert Equations koja automatski prevodi formule na izabrani format (ima ih jako puno, od Wikipedije do Goole-a).
      Nakon prevođenja u kartici Blog Post ima opcija Publish as Draft koja članak direktno šalje na blog.🙂
      Nadam se da će i Vama biti od koristi.
      Srdačan pozdrav

      • 18. February 2012. at 2:20 pm

        Odlično zvuči! Probaću…🙂

  4. 12. April 2012. at 10:43 pm

    Само напријед!

  5. 22. December 2012. at 3:49 pm

    Sada mi je sve jasno iz kombinatorike.Hvala vam.

  6. 28. May 2013. at 12:22 pm

    Pozdravljen uvaženi g.Bogdan svaka čast na pomoči.
    Imaš li možda šta o matrikama.
    Hvala na svemu.
    Čitamo te i u Sloveniji .

    • 28. May 2013. at 9:14 pm

      Hvala najlepše. Drago mi je da su tekstovi korisni.
      Naravno, napisaću i tekst o matricama, samo mi recite da li Vas zanima uopšteno o matricama ili neka posebna oblast vezana za matrice?

      Srdačan pozdrav za sve u Sloveniji.
      Bojan

  7. Alex
    26. June 2013. at 9:02 am

    Da li moze pomoc oko jednog zadatka? Hvala.
    Koliko ima prirodnih brojeva koji imaju bar dve cifre i kod kojih je svaka cifra manja od prethodne?

    • 4. September 2013. at 9:56 pm

      Naravno, Sanja. Nema problema.
      Dakle, označimo najpre sve nepoznate veličine:
      x – broj dečaka;
      y – broj devojčica;
      z – broj nastavnika.

      Znamo da ih ukupno ima 760, pa je
      x+y+z=760
      Ovde imamo tri nepoznate (x, y i z) koje ne možemo da nađemo iz samo ove jedne jednačine. Zato ćemo da dve nepoznate (na primer, y i z) da zamenimo nekim izrazima koji sadrže samo nepoznatu x.
      U zadatku je dato da dečaka ima 8 puta više nego nastavnika, pa je:
      x=8z
      Odavde dobijamo da je: z=\frac{1}{8}x što znači da nepoznatu z možemo da zamenimo izrazom \frac{1}{8}x.
      Sa druge strane imamo da je broj devojčica u odnosu na broj dečaka 5:4. Izrazimo ovaj podatak koristeći proporciju:
      y:x=5:4 (Obrati pažnju da pišemo y prema x, a ne x prema y. To je zbog toga što u zadatku piše da je odnos DEVOJČICA prema broju DEČAKA 5:4, dakle y prema x, a ne x prema y )
      Iz ove proporcije, korišćenjem osobine da je proizvod spoljašnjih članova jednak proizvodu unutrašnjih, dobijamo:
      4y=5x
      Odavde imamo da je: y=\frac{5}{4}x , pa umesto nepoznate y, možemo da koristimo izraz \frac{5}{4}x.
      Sada se vratimo na našu jednačinu:
      x+y+z=760
      Kada u njoj zamenimo nepoznate y i z, dobijamo:
      x+\frac{5}{4}x+\frac{1}{8}x=760
      Ovo je jednačina sa samo jednom nepoznatom koju možemo da rešimo koristeći 4 koraka iz teksta. Najpre, množimo celu jednačinu sa 8:
      8\cdot x+8\cdot \frac{5}{4}x+8\cdot \frac{1}{8}x=8\cdot 760
      Skraćivanjem gubimo razlomke i dobijamo jednačinu:
      8x+10x+x=6080
      Odnosno:
      19x=6080
      Odavde možemo da izračunamo vrednost nepoznate x:
      x=\frac{6080}{19}
      i dobijamo da je
      x=320
      Dakle, dečaka ima 320. Sada možemo lako da izračunamo broj devojčica i broj dečaka:
      y=\frac{5}{4}x
      y=\frac{5}{4}\cdot 320
      y=5\cdot 80
      y=400
      pa u školi ima 400 devojčica.
      z=\frac{1}{8}x
      z=\frac{1}{8}\cdot 320
      z=40
      Nastavnika ima 40.
      Da proverimo:
      Svih zajedno treba da ima 760
      320+400+40=760
      Nadam se da je rešenje dovoljno detaljno objašnjeno.
      Pozdrav i srećno sutra.😉

  8. sanjamajaluka
    17. September 2014. at 12:48 pm

    Pozdrav, potrebna mi je pomoc za ovaj zadatak:
    Nacrtati u koordinatnoj ravni skupove tacaka tako da sledeci iskazi budu tacni:
    a) (x>0) ^(y>0)
    b)(x>0)^(y<0)
    Unaprijed hvala.
    Sanja

    • 17. September 2014. at 4:03 pm

      Naravno.
      Posmatraćemo koordinatni sistem sa sledeće slike (slika je sa sajta Wikipedia):

      Ove dve velike prave na kojima su označeni brojevi (slično podeocima na lenjiru🙂 ) zovemo koordinatnim osama.
      Horizontalnu pravu zovemo x-osa (ili apscisa), a vertikalnu y-osa (ili ordinata).
      Svaka tačka iz ravni u kojoj su ove dve ose ima svoju jednistvenu adresu (preciznu lokaciju na kojoj se nalazi). Tako tačka P sa slike ima adresu (3,5). To znači da kada krenete od tačke P prema x-osi, paralelno sa y-osom, doći ćete do broja 3. Ako, pak, krenete ka y-osi, paralelno sa x-osom, dolazite do broja 5. Dakle, koordinate (adresa) tačke P su (3,5).
      a) Ovde se od nas traži da označimo sve tačke u koordinatnom sistemu za koje je x>0 i y>0. Proučimo najpre šta su to “kvadranti”.
      Ako obratite pažnju, primetićete da naše dve ose (x i y) seku celu ravan na 4 dela. Oni su na slici označeni rimskim brojevima I, II, III i IV.
      Ovi delovi zovu se kvadraNti (sa N🙂 ).
      Posmatrajmo deo slike označen sa I. Primetite da sve tačke u ovom delu imaju pozitivno x i y. Zbog toga prebrojavanje kvadranata kreće upravo od njega pa je on označen kao prvi kvadrant (I kvadrant). Dalje označavanje ide suprotno od kretanja kazaljke na časovniku (levo od I je II kvadrant, ispod II je III, a poslednji je desno od III i ispod I i označen je kao IV kvadrant).
      Već smo napomenuli da sve tačke iz I kvadranta imaju pozitivno i x i y pa za njih važi da je x>0 i y>0.
      Sličnim razmišljanjem uočavamo da u drugom kvadrantu sve tačke imaju negativno x i pozitivno y (odnosno x0).
      U III kvadrantu sve tačke imaju obe negativne koordinate, odnosno x<0 i y0 i y0 i y>0, a to važi za sve tačke u prvom kvadrantu pa treba osenčati ceo I kvadrant.
      b) U ovom delu zadatka treba naći tačke za koje je x>0, a y<0. Primetimo da to važi samo za tačke u četvrtom kvadrantu pa ovde treba osenčati ceo IV kvadrant.

      Potrudio sam se da što detaljnije objasnim rešenje. Nadam se da ćete uspeti da se snađete.
      Pozdrav.😉

  9. sanjamajaluka
    17. September 2014. at 5:35 pm

    Hvala ti puno ,Bojane, sad tek vidim koliko je to bilo jednostavno samo da sam nacrtala koordinatni sistem i napisala brojeve omah bi uocila ono sto se od mene trazi.Takodje hvala puno i na objasnjnju bez koga nista ne bih shvatila .
    SANJA🙂🙂

  10. 17. September 2014. at 10:45 pm

    Nema na čemu. Drago mi je da je objašnjenje pomoglo.🙂
    Pozdrav

  11. ksenija gburcik
    11. October 2014. at 3:37 pm

    Fenomenalno napisano! Najzad dobro i jednostavno objasnjeno. Procitala sam tekst o kombinatorici i sve shvatila za 15 minuta. Prethodno sam izgubila sate i sate sa knjigama koje kao da su pisane u srednjem veku Da li planirate da objavite knjigu?
    Hvala!
    Ksenija

    • 20. October 2014. at 11:12 pm

      Hvala najlepše, Ksenija. Drago mi je da je tekst pomogao.
      Razmišljao sam o objavljivanju knjige, a potrudiću se da to i ostvarima.
      Hvala najlepše na podršci.🙂

      Srdačan pozdrav.
      Bojan

  12. sanjamajaluka
    12. October 2014. at 12:27 pm

    Cao,
    Imam jedan vrlo slican zadatak ali nisam sigurna da li mi je tacan,i on glasi ovako:
    1.Nacrtati u koordinatnoj ravni skupove tacaka tako da sledeci iskazi budu tacni:
    a)(x<0) ^ (y0) ˇ (y>0)
    d)(x>0) ˇ (y<0)
    e)(x<0) ˇ(y=0)
    f)(x=0) ˇ(y=0)
    Nadam se da ces mi sto prije moci odgovoriti jer mi je to vec sjutra potrebno .
    Sanja
    P.S
    Zaboravila sam da ti naglasim dta znace ovi znaci jer jedva sam ih pronasla na tastaturi:
    ˇ to je znak ili
    ^ to je znak i

  13. sanja
    23. February 2015. at 4:23 pm

    Cao Bojane,
    Mozes li mi molim te sto pre uraditi ovaj zadatak ,naravno ako mozes,znam mu resenje ali ne znam kako ga postaviti :
    1.Treba razmjeniti 1 euro za 16 moneta od 10 i 5 centi .Koliko mora biti moneta po 5 centi ?
    Logicno znam da je rjesenje 4 od 10centi i 12 od 5 centi ,ali ne znam kako postaviti .

    • 3. March 2015. at 12:14 am

      Naravno. Nema problema.
      Naime, ovde imamo dve nepoznate. Neka je x broj moneta od 10, a y broj moneta od 5 centi.
      kako ukupno ima 16 moneta, zaključujemo da je x+y=16.
      Sa druge strane, sve monete zajedno vrede 1 euro = 100 centi, pa je 10x+5y=100.
      Ovde dobijamo sistem od dve linearne jednačine sa dve nepoznate:
      x+y=16
      10x+5y=100
      Rešavanjem ovog sistema dobijamo traženi odgovor.😉

      Nadam se da sam koliko toliko pomogao.
      Pozdrav

  14. 20. May 2015. at 10:15 am

    Ne mogu da resim ovaj zadatak. 3- 9/(2x-5)+3x/(3x-2)=5-2x/(2x-5) Mozete li resiti, hitno je

    • 20. May 2015. at 11:23 am

      Ovaj zadatak se može rešiti na više načina (zavisi da li se radi u osnovnoj ili srednjoj školi).
      U osnovnoj spada u teške zadatke i može se rešiti na ovaj način (množenjem sa \left( 2x-5 \right)\left( 3x-2 \right)kako bi se oslobodili svih imenilaca).
      Najpre primetimo da imenilac ne sme biti jednak 0, odakle dobijamo uslove:
      2x-5\ne 0
      2x\ne 5
      x\ne \frac{5}{2}
      I drugi uslov:
      3x-2\ne 0
      3x\ne 2
      x\ne \frac{2}{3}
      Dakle, rešenje ne sme biti \frac{5}{2} niti \frac{2}{3}
      3-\frac{9}{2x-5}+\frac{3x}{3x-2}=5-\frac{2x}{2x-5}
      3-\frac{9}{2x-5}+\frac{3x}{3x-2}=5-\frac{2x}{2x-5} \backslash \left( 2x-5 \right)\left( 3x-2 \right)(ovde množimo sa \left( 2x-5 \right)\left( 3x-2 \right)) )
      \left( 2x-5 \right)\left( 3x-2 \right)\cdot 3-\left( 2x-5 \right)\left( 3x-2 \right)\cdot \frac{9}{2x-5}+\left( 2x-5 \right)\left( 3x-2 \right)\cdot \frac{3x}{3x-2}=\left( 2x-5 \right)\left( 3x-2 \right)\cdot 5-\left( 2x-5 \right)\left( 3x-2 \right)\cdot \frac{2x}{2x-5}
      \left( 6{{x}^{2}}-4x-15x+10 \right)\cdot 3-\left( 3x-2 \right)\cdot 9+\left( 2x-5 \right)\cdot 3x=\left( 6{{x}^{2}}-4x-15x+10 \right)\cdot 5-\left( 3x-2 \right)\cdot 2x (skraćivanjem dobijamo sledeće)
      \left( 6{{x}^{2}}-19x+10 \right)\cdot 3-27x+18+6{{x}^{2}}-15x=\left( 6{{x}^{2}}-19x+10 \right)\cdot 5-6{{x}^{2}}+4x
      18{{x}^{2}}-57x+30-27x+18+6{{x}^{2}}-15x=30{{x}^{2}}-95x+50-6{{x}^{2}}+4x
      24{{x}^{2}}-99x+48=24{{x}^{2}}-91x+50
      24{{x}^{2}}-99x-24{{x}^{2}}+91x=50-48
      -8x=2
      x=\frac{2}{-8}
      x=-\frac{1}{4}
      Drugi način je više vezan za srednju školu jer se radi sa racionalnim algebarskim izrazima.
      Najpre sve sa leve strane prebacimo na desnu:
      3-\frac{9}{2x-5}+\frac{3x}{3x-2}=5-\frac{2x}{2x-5}(sa desne strane ostaje 0)
      3-\frac{9}{2x-5}+\frac{3x}{3x-2}-5+\frac{2x}{2x-5}=0 (sređivanjem desne strane dobijamo)
      \frac{2x}{2x-5}-\frac{9}{2x-5}+\frac{3x}{3x-2}-5+3=0
      \frac{2x-9}{2x-5}+\frac{3x}{3x-2}-2=0 (priširivanjem ovih izraza do zajedničkog imenioca \left( 2x-5 \right)\left( 3x-2 \right), dobijamo sledeće:)
      \frac{\left( 2x-9 \right)\left( 3x-2 \right)}{\left( 2x-5 \right)\left( 3x-2 \right)}+\frac{3x\left( 2x-5 \right)}{\left( 2x-5 \right)\left( 3x-2 \right)}-\frac{2\left( 2x-5 \right)\left( 3x-2 \right)}{\left( 2x-5 \right)\left( 3x-2 \right)}=0
      \frac{\left( 2x-9 \right)\left( 3x-2 \right)+3x\left( 2x-5 \right)-2\left( 2x-5 \right)\left( 3x-2 \right)}{\left( 2x-5 \right)\left( 3x-2 \right)}=0 (ovde dobijamo iste uslove kao u prethodnom postupku, dakle: x\ne \frac{5}{2} i x\ne \frac{2}{3})
      \left( 2x-9 \right)\left( 3x-2 \right)+3x\left( 2x-5 \right)-2\left( 2x-5 \right)\left( 3x-2 \right)=0 (kako imenilac ne sme da bude 0, to mora biti brojilac)
      6{{x}^{2}}-4x-27x+18+6{{x}^{2}}-15x-2\left( 6{{x}^{2}}-12x-15x+10 \right)=0
      12{{x}^{2}}-46x+18-12{{x}^{2}}+54x-20=0
      -8x-2=0
      -8x=2
      x=-\frac{1}{4}
      Nadam se da su postupci jasni. Trudio sam se da ne preskačem korake.😉
      Pozdrav
      Bojan

  1. No trackbacks yet.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: