Home > Sadržaj > Sadržaj

Sadržaj

Osnovna škola:

Rešavanje linearnih jednačina

Razlomci

Zadaci sa školskih takmičenja za VIII razred

Srednja škola:

Kombinatorika na lakši način🙂

Kvadratne jednačine

Procentni i promilni račun

Rešavanje linearnih jednačina

For english speaking visitors: please visit http://mathematikon.wordpress.com/ .

Thank You!

Categories: Sadržaj
  1. 20. October 2014. at 8:16 pm

    Postovani Bojane!
    Obicni, divni ljudi rade velike stvari i postaju veliki.
    Neprocenjivo je ono sto si postigao svojim sajtom i za nas roditelje koji hocemo da pomognemo svojoj deci da im mateamtika ne bude najomrazeniji predmet sto zbog neznanja – sto zbog nejasnoca.
    Imam za Tebe jednu molbu – kcerka upravo treba da radi pismeni iz matematike (u osmom je razredu) i imamo nedoumice oko apsolutnih vrednosti.
    Konkretno: / – (znak za apsolutnu vrednost)
    /x/ – /x+1/ = /x-2/
    x0
    2. x-(x+1)=x-2
    x-x-1= x-2
    x=-2+1
    x=-1

    Dragi Bojane, da li je ovaj zadatak ispravno resen?
    Prijateljski pozdrav
    Ljubodrag Vesic
    Beograd

    • 20. October 2014. at 9:20 pm

      Poštovani Ljubodraže,

      Hvala najlepše na lepim rečima. Ovakvi komentari su mi podstrek i putokaz da sam na dobrom putu. Drago mi je da su tekstovi korisni, ali mi je jako žao što ne mogu više vremena da posvetim ovom blogu, ali ću dati sve od sebe da taj nedostatak vremena otklonim.🙂

      Rešenje koje ste dali se može lako proveriti. Ako u jednačini zamenite dobijeno rešenje -1 umesto nepoznate x, dobićete:
      |-1|-|-1+1|=|-1-2|
      1 – |0| = |-3|
      1 – 0 = 3
      Kako ovo nije tačno, zaključujemo da rešenje nije dobro. Inače, ova jednačina, koliko sam mogao da primetim, nema rešenja.
      Molim Vas za malo strpljenja, otkucaću kompletno rešenje i postaviti ga ovde (trenutno pokušavam da pokrenem program za kucanje formula na WordPress-u jer mi pravi dosta problema). Pretpostavljam da će detaljan opis i drugima biti od koristi.

      Srdačan pozdrav.
      Bojan

    • 20. October 2014. at 10:27 pm

      [Enter Post Title Here]

      Zadatak: Reši jednačinu
      \left| x \right|-\left| x+1 \right|=\left| x-2 \right|
      Rešenje: U ovakvim zadacima najveći problem je šta raditi sa apsolutnim vrednostima. Da li da ih jednostavno izbrišemo i pravimo se da ih nismo videli , ili da, možda, promenimo znakove (za svaki slučaj😉 )? Odgovor je: i jedno i drugo. Naime, podsetimo se šta apsolutna vrednost radi sa realnim brojevima. Broj -3 pretvoriće u 3 (znamo da je \left| -3 \right|=3), a 5 ostaje 5 (odnosno, \left| 5 \right|=5). Dakle, ona svaki broj pretvori u pozitivnu vrednost tog broja.
      Obratimo pažnju da je pod apsolutnom vrednošću izraz koji u sebi sadrži neku promenljivu vrednost x. Kako ne znamo vrednost za x, šta će se desiti sa apsolutnom vrednošću zavisi upravo od te vrednosti.
      Ako je x pozitivan broj (odnosno x\ge 0), ništa se ne menja pa je \left| x \right|=x.
      Međutim, ako je x negativan broj, x<0 za moramo mu promeniti znak – u +, odnosno pomnožiti znakom -, pa je \left| x \right|=-x.
      Ovo jednostavnije pišemo kao:
      \left| x \right|=\left\{ \begin{matrix}    x,x\ge 0  \\    -x,x<0  \\ \end{matrix} \right.
      Ako je pod apsolutnom vrednošću neki složeniji izraz, apsolutna vrednost zavisi od znaka tog izraza. Na primer \left| x+1 \right| zavisi od toga da li je x+1 veće ili manje od 0. Ako je veće od 0, apsolutnu vrednost samo obrišemo. Međutim, ako je x+1 manje od 0, moramo mu promeniti znak u –(x+1). To pišemo ovako:
      \left| x+1 \right|=\left\{ \begin{matrix}    x+1,x+1\ge 0  \\    -\left( x+1 \right),x+1<0  \\ \end{matrix} \right.
      Ovaj izraz možemo malo urediti na sledeći način:
      \left| x+1 \right|=\left\{ \begin{matrix}    x+1,x+1\ge 0  \\    -\left( x+1 \right),x+1<0  \\ \end{matrix} \right.=\left\{ \begin{matrix}    x+1,x\ge -1  \\    -x-1,x<-1  \\ \end{matrix} \right.
      Zaključujemo da znak ovog izraza zavisi od toga da li je vrednost x manja ili veća od -1.
      Ostaje nam i treća apsolutna vrednost \left| x-2 \right| i nju određujemo isto kao i prethodnu:
      \left| x-2 \right|=\left\{ \begin{matrix}    x-2,x-2\ge 0  \\    -\left( x-2 \right),x-2<0  \\ \end{matrix} \right.=\left\{ \begin{matrix}    x-2,x\ge 2  \\    2-x,x<2  \\ \end{matrix} \right.
      U ovom slučaju, apsolutna vrednost \left| x-2 \right| zavisi od toga da li je x manje ili veće od 2.
      Sve ovo možemo spojiti u jednu malu tabelu u kojoj ćemo pisati kako menjamo apsolutnu vrednost u zavisnosti od x.
      Tabela

      Ovim smo sve moguće vrednosti za x podelili na četiri dela, od -\infty do -1, od -1 do 0, od 0 do 2 i od 2 do +\infty .
      Pogledajmo šta če se desiti ako je x manje od -1.
      Za x<-1 iz tabele vidimo da je \left| x \right|=x, \left| x+1 \right|=-x-1, \left| x-2 \right|=2-x, pa naša nejednačina dobija sledeći oblik:
      \left| x \right|-\left| x+1 \right|=\left| x-2 \right|
      -x-\left( -x-1 \right)=2-x
      -x+x+1=2-x
      x=2-1
      x=1
      Međutim, setimo se da smo pretpostavili da je x<-1, a kako 1 nije manje od -1, zaključujemo da x ne može biti 1. Ovo se, inače lako proverava ako se x u jednačini zameni sa 1:
      Provera:
      \left| x \right|-\left| x+1 \right|=\left| x-2 \right|
      \left| 1 \right|-\left| 1+1 \right|=\left| 1-2 \right|
      1-\left| 2 \right|=\left| -1 \right|
      1-2=1
      što očigledno nije tačno.
      Na istinačin tražimo rešenje i ako je x u sledećoj koloni tabele, odnosno između -1 i 0:
      Za -1\le x<0 iz tabele imamo da je:
      \left| x \right|-\left| x+1 \right|=\left| x-2 \right|
      -x-\left( x+1 \right)=2-x
      -x-x-1=2-x
      -x=2+1
      x=-3
      Međutim, kako -3 nije između -1 i 0, zaključujemo da ni -3 nije rešenje ove jednačine. Ovo se, naravno, takođe može proveriti:
      Nastavimo dalje.
      Za 0\le x<2 iz tabele dobijamo:
      \left| x \right|-\left| x+1 \right|=\left| x-2 \right|
      x-\left( x+1 \right)=2-x
      x-x-1=2-x
      x=2+1
      x=3
      Kako 3 nije između 0 i 2, ni ovo ne može da bude rešenje naše jednačine.
      U poslednjoj koloni ispitujemo rešenja jednačine ako je x veće od 2.
      Za x\ge 2 iz tabele dobijamo:
      \left| x \right|-\left| x+1 \right|=\left| x-2 \right|
      x-\left( x+1 \right)=x-2
      x-x-1=x-2
      -x=-2+1
      -x=-1
      x=1
      I ovde dobijamo broj koji nije unutar skupa koji ispitujemo. Naime, 1 nije veće od 2 pa ni 1 nije rešenje naše jednačine.
      Ispitali smo sve moguće varijante apsolutne vrednosti i nigde nismo našli rešenje pa zaključujemo da ova jednačina nema rešenja.
      Izvinjavam se zbog jako dugog teksta, ali sam se potrudio koliko sam mogao da objasnim što je moguće više za što kraće vreme.
      Ovom prilikom se izvinjavam i svima kojima nisam stigao da odgovorim, ali zaista je teško postići sve obaveze.
      Hvala najlepše na pažnji i srdačan pozdrav.
      Bojan

  1. No trackbacks yet.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: