Archive

Archive for December, 2011

KVADRATNE JEDNAČINE

2. December 2011. 6 comments

KVADRATNE JEDNAČINE

Kvadratne jednačine imaju oblik a{{x}^{2}}+bx+c=0, gde su ab i c realni brojevi, a x nepoznata veličina. Za rešavanje kvadratnih jednačina jako je važno znati kako prepoznati koeficijete ab i c.

Zadatak 1: Izdvojiti koeficijete ab i c u datim kvadratnim jednačinama.

a) 3{{x}^{2}}-2x+7=0;     b) {{x}^{2}}+2x+9=0

c) 2{{x}^{2}}+x=0;     d) 3{{x}^{2}}-7=0

Rešenje:

  1. 3{{x}^{2}}-2x+7=0\Rightarrow a=3b=-2 i c=7
  2. Ovu jednačinu možemo napisati i ovako

    1{{x}^{2}}+2x+9=0\Rightarrow a=1b=2 i c=9

  3. U ovoj jednačini nemamo slobodan član c, pa smatramo da je c=0

    2{{x}^{2}}+x+0=0\Rightarrow a=2b=1 i c=0

  4. Slično kao pod c)

    3{{x}^{2}}-7=0\Rightarrow a=3b=0 i c=-7

Jednačine u kojima je b=0 ili c=0 imaju oblik

a{{x}^{2}}+bx=0 ili a{{x}^{2}}+c=0 ili a{{x}^{2}}=0

i one su nepotpune kvadratne jednačine. Njihovo rešavanje se razlikuje od rešavanja potpunih kvadratnih jednačina.

REŠAVANJE NEPOTPUNIH KVADRATNIH JEDNAČINA

Oblika{{x}^{2}}+bx=0

Rešavanje: U ovom slučaju možemo ispred zagrade izvući zajedničko x:

a{{x}^{2}}+bx=0\Rightarrow (ax+b)x=0

Zadatak 2: Reši jednačinu: 2{{x}^{2}}-3x=0

Rešenje2{{x}^{2}}-3x=0\Rightarrow (2x-3)x=0

x=0 ili 2x-3=0\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac{3}{2}

Rešenja su {{x}_{1}}=0 i {{x}_{2}}=\frac{3}{2}

Dobijamo proizvod monoma i binoma koji je jednak nuli, pa bar jedan od njih mora biti 0, odnosno:

x=0 ili

ax+b=0\Rightarrow ax=-b\Rightarrow x=-\frac{b}{a}

pa su rešenja {{x}_{1}}=0 ili {{x}_{2}}=-\frac{b}{a}

Oblika{{x}^{2}}+c=0

Rešenje: Sada imamo samo jedan nepoznati element, a to je x2:

a{{x}^{2}}+c=0\Rightarrow a{{x}^{2}}=-c\Rightarrow {{x}^{2}}=-\frac{c}{a}\Rightarrow x=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}

Opet imamo dva rešenja: {{x}_{1}}=-\sqrt{-\frac{c}{a}} i {{x}_{2}}=\sqrt{-\frac{c}{a}}

Zadatak 3: Reši jednačinu 3{{x}^{2}}-6=0

Rešenje3{{x}^{2}}-6=0\Rightarrow 3{{x}^{2}}=6\Rightarrow {{x}^{2}}=\frac{6}{3}\Rightarrow {{x}^{2}}=2\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}

Dakle, rešenja su {{x}_{1}}=-\sqrt{2} i {{x}_{2}}=\sqrt{2}.

Zadatak 4: Reši jednačinu 3{{x}^{2}}=0

Rešenje3{{x}^{2}}=0\Rightarrow {{x}^{2}}=0\Rightarrow x=0

Dakle, rešenja su {{x}_{1}}={{x}_{2}}=0.

Oblika{{x}^{2}}=0

Rešenje: Sada imamo da je proizvod a\cdot {{x}^{2}}=0 pa mora biti {{x}^{2}}=0 odnosno x=0 je jedino rešenje.

REŠAVANJE POTPUNIH KVADRATNIH JEDNAČINA

Prilikom rešavanja potpune kvadratne jednačine potrebno je najpre ispitati prirodu njenih rešenja. To radimo ispitivanjem diskriminante kvadratne jednačine. Diskriminantu računamo po formuli D={{b}^{2}}-4\cdot a\cdot c. Nakon toga ispitujemo da li je diskriminanta veća, manja ili jednaka nuli.

Ako je diskriminanta veća od 0 kvadratna jednačina ima dva realna različita rešenja, ako je jednaka nuli ima dva realna jednaka rešenja, a ako je manja od 0 jednačina ima dva konjugovano kompleksna rešenja.

To je jednostavnije opisano u sledećoj tablici:

Vrednost

diskriminante

Priroda rešenja kvadratne jednačine
D>0 Kvadratna jednačina ima dva realna različita rešenja ({{x}_{1}}\ne {{x}_{2}})
D=0 Kvadratna jednačina ima dva realna jednaka rešenja ({{x}_{1}}={{x}_{2}})
D<0 Kvadratna jednačina ima dva konjugovano kompleksna rešenja

({{x}_{1}}={{\overline{x}}_{2}})

Ovo nam omogućava da vidimo kakve su osobine rešenja kvadratne jednačine pre nego što ih pronađemo.

Zadatak 5: Ne nalazeći rešenja datih kvadratnih jednačina ispitaj njihovu prirodu:

a) 6{{x}^{2}}-x-1=0    b) {{x}^{2}}-2x+1=0    c) 2{{x}^{2}}-5x+4=0

Rešenje:

a) 6{{x}^{2}}-x-1=0\Rightarrow a=6\wedge b=-1\wedge c=-1

D={{b}^{2}}-4\cdot a\cdot c\Rightarrow D={{(-1)}^{2}}-4\cdot 6\cdot (-1)\Rightarrow D=1+24\Rightarrow D=25

Kako je D=25>0, prema tablici ova kvadratna jednačina ima dva realna različita rešenja ({{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}).

b) {{x}^{2}}+2x-1=0\Rightarrow a=1\wedge b=-2\wedge c=1

D={{b}^{2}}-4\cdot a\cdot c\Rightarrow D={{(-2)}^{2}}-4\cdot 1\cdot 1\Rightarrow D=4-4\Rightarrow D=0

Kako je D=0, prema tablici ova kvadratna jednačina ima dva realna jednaka rešenja ({{x}_{1}}={{x}_{2}}).

c) 2{{x}^{2}}-5x+4=0\Rightarrow a=2\wedge b=-5\wedge c=4

D={{b}^{2}}-4\cdot a\cdot c\Rightarrow D={{(-5)}^{2}}-4\cdot 2\cdot 4\Rightarrow D=25-32\Rightarrow D=-7

Kako je D=-7<0, prema tablici ova kvadratna jednačina ima dva konjugovano kompleksna rešenja ({{x}_{1}}={{\overline{x}}_{2}}).

Dakle, vidimo da kvadratna jednačina uvek ima dva rešenja, a ona su realna i različita, realna i jednaka ili konjugovano kompleksna. Ta rešenja tražimo pomoću formule:

{{x}_{1/2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2\cdot a}

Ovde su u jednoj formuli napisana dva rešenja: {{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2\cdot a} i {{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2\cdot a}.

Zadatak 6: Nađimo rešenja kvadratnih jednačina iz prethodog zadatka:

a) 6{{x}^{2}}-x-1=0    b) {{x}^{2}}-2x+1=0    c) 2{{x}^{2}}-5x+4=0

Rešenje:

a) Ovde smo dobili da je D=25>0pa ova kvadratna jednačina ima dva realna razliita rešenja, odnosno

{{x}_{1/2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2\cdot a}\Rightarrow {{x}_{1/2}}=\frac{-(-1)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 6}\Rightarrow {{x}_{1/2}}=\frac{1\pm 5}{12}, odnosno:

{{x}_{1}}=\frac{1+5}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} i {{x}_{2}}=\frac{1-5}{12}=\frac{-4}{12}=-\frac{1}{3} pa su rešenja {{x}_{1}}=\frac{1}{2} i {{x}_{2}}=-\frac{1}{3}

b) U ovom slučaju je D=0 pa ova kvadratna jednačina ima dva realna jednaka rešenja ({{x}_{1}}={{x}_{2}}):

{{x}_{1/2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2\cdot a}\Rightarrow {{x}_{1/2}}=\frac{-(-2)\pm \sqrt{0}}{2\cdot 1}\Rightarrow {{x}_{1/2}}=\frac{2\pm 0}{2}\Rightarrow {{x}_{1/2}}=\frac{2}{2}=1

Odnosno {{x}_{1}}={{x}_{2}}=1

c) U trećem slučaju je D=-7<0 pa, prema tablici, ova kvadratna jednačina ima dva konjugovano kompleksna rešenja ({{x}_{1}}={{\overline{x}}_{2}}):

{{x}_{1/2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2\cdot a}\Rightarrow {{x}_{1/2}}=\frac{-(-5)\pm \sqrt{-7}}{2\cdot 2}\Rightarrow {{x}_{1/2}}=\frac{5\pm i\sqrt{7}}{4}

Pa su rešenja: {{x}_{1}}=\frac{5}{4}+i\frac{\sqrt{7}}{4} i {{x}_{2}}=\frac{5}{4}-i\frac{\sqrt{7}}{4}

Koristeći ova rešenja možemo rastaviti kvadratni trinom na proizvod dva bioma po sledećoj formuli:

Ako su {{x}_{1}} i {{x}_{2}} rešenja kvadratne jednačine a{{x}^{2}}+bx+c=0, tada se kvadratni trinom a{{x}^{2}}+bx+c može napisati kao:

a{{x}^{2}}+bx+c=a\cdot (x-{{x}_{1}})\cdot (x-{{x}_{2}})

Kao primer rastavićemo polinom pod a) iz prethodnog zadatka.

Zadatak 7: Rastavi na činioce polinom 6{{x}^{2}}-x-1.

Rešenje: Ovaj polinom je kvadratni trinom pa za njega važi gore navedena formula razlaganja. Kako smo videli u prethodnom zadatku, rešenja ovog polinoma su {{x}_{1}}=\frac{1}{2} i {{x}_{2}}=-\frac{1}{3}, a vrednost a je a=6, pa prema formuli, imamo da je:

6{{x}^{2}}-x-1=6\cdot (x-\frac{1}{2})\cdot (x-(-\frac{1}{3}))=6\cdot (x-\frac{1}{2})\cdot (x+\frac{1}{3})

čime je ovaj zadatak završen.

Advertisements
Categories: Srednja škola

ПРОЦЕНТНИ И ПРОМИЛНИ РАЧУН

2. December 2011. 4 comments

Свакодневно се у животу срећемо са процентним рачуном. Појам процента уско је повезан са размером и пропорцијом. Наиме, један проценат (у ознаци 1%) неке величине је уствари један стоти део те величине. Дакле, 1% од величине А једнак је . То значи да је p процената величине А једнако p стотих делова од А, односно: .

На пример, 25% од 750 је

.

Очигледно је да проценат од А зависи од величине А. Наиме, 30% од 100 је 30, али, са друге стране, 30% од 200 је 60, даље, 30% од 300 је 90 и тако даље. Дакле, 30% од различитих бројева су различите величине. Величина од које рачунамо проценат назива се главница.

Пример 1. Колико је 80% од 1320?

Решење: Дакле, главница је 1320 и треба наћи 80% те величине, односно

Можемо приметити да је главница увек 100%. Иначе, овакви проблеми могу се решавати и коришћењем директне пропорционалности. Тако Пример 1 можемо решити и на следећи начин:

Решење: Главница је 1320 и она је увек 100%. Треба наћи 80% те главнице, па овај проблем можемо да поматрамо као пропорцију, односно:

Код процентног рачуна увек користимо директну пропорционалност, па је:

па је резултат исти.•

Дакле, у процентном рачуну имамо три основне величине: основна вредност од које се рачуна проценат (главница) – G, проценатp и процентни износP. Користећи ове ознаке постављамо пропорцију:

Промил је сличан проценту и има исте особине. Разлика је у томе што је промил (у ознаци ‰) хиљадити део главнице, док је проценат (ознака %) стоти део. Користeћи исте ознаке, за промил важи следећа пропорција:

Пример 2. Израчунај 120‰ ако је главница 350.

Решење: Из задатка закључујемо да је G=350 и p=120, па је

па 120‰ од 350 износи 42.•

У претходним примерима била нам је позната главница и проценат, а требало је наћи процентни износ. Погледајмо примере у којима треба наћи проценат или главницу.

Пример 3. Након поскупљења од 10%, ципеле коштају 3300 динара. Колико су коштале пре поскупљења?

Решење: У овом случају имамо проценат и процентни износ, а треба наћи главницу. Овде треба бити опрезан приликом одређивања процента. Наиме, након повећања од 10%, нова цена биће 110% старе цене, па је проценат p=110% , а процентни износ P=3300. Поставимо ли одговарајућу пропорцију, добијамо:

па је стара цена 3000 динара.•

Пример 4. У једној шећерани од 141.350kg шећерне репе добијено је 15.780kg шећера. Колики је проценат шећера остварен из шећерне репе.

Решење: У овом случају имамо главницу (G=141.350kg) и процентни износ (P=15.780kg), а треба наћи проценат.

Дакле, цена добијене мешавине је 232 динара и 75 пара.•

Задаци за вежбу:

  1. Израчунати 30% од 1200 и 120% од 2400.
  2. Израчунати 25‰ од 420.
  3. Проценат је 15%, а процентни износ 30. Наћи главницу.
  4. Ако је 30% неке вредности једнака 125, наћи ту вредност.
  5. У Републици Србији порез на додату вредност (ПДВ) износи 18%. Колика је вредност ПДВ на робу вредности 10000 динара?
  6. Ако смо робу заједно са ПДВ платили 1300 динара, колика је цена те робе без ПДВ?
  7. Колико процената износи поскупљење са 330 на 396 динара?
  8. За прскање 1ha воћњака користи се 400 литара 1% раствора плавог камена. Колико ће коштати прскање 3,5ha воћњака ако је цена плавог камена 250 динара за килограм?
Categories: Ostalo, Srednja škola