Rešavanje linearnih jednačina
Problem: Treba rešiti sledeću jednačinu:
Uvodni deo: Rešavanje ovakvih jednačina može biti problematično. Najčešće pomislimo: “Uh, šta sad da radim? Ovo mora da je teško!” Međutim, ne mora da bude teško.
Ovu jednačinu rešićemo tako što ćemo sistematizovati postupak za rešavanje ovakvih jednačina. Znači, napravićemo ALGORITAM za rešavanje korak po korak.
Najpre, par reči o samom pojmu jednačine. Jednačina označava jednakost izraza sa LEVE i izraza sa DESNE strane znaka “=”. Možemo je zamisliti kao vagu sa dva tasa koji su u ravnoteži. Ako dodamo nešto na levi tas vage, moramo isto to da dodamo i na desni tas da bi vaga ostala u ravnoteži. Takođe, ako oduzmemo nešto sa desnog tasa vage, isto to moramo da oduzmemo i sa levog tasa.
Sve u svemu, pravilo bi bilo: Šta radimo sa jedne strane jednakosti, isto moramo da uradimo i sa druge strane da bi jednakost ostala jednakost. Ovo je osnovno pravilo koga ćemo se držati nadalje.
Rešavanje prostih linearnih jednačina: Za početak, opisaćemo rešavanje najjednostavnijih linearnih jednačina oblika A·x=B, gde su A i B neki realni brojevi, a x nepoznata vrednost.
Cilj je da se oslobodimo broja A sa leve strane jednačine. Najpre, podelićemo levu i desnu stranu brojem A, i dobijamo:
{delimo levu i desnu stranu sa A}
{skratimo A u imeniocu i A u brojiocu sa leve strane}
{broj B/A je rešenje ove jednačine J}
PRIMER 1:
{jednačina koju treba rešiti} {delimo sa 5 levu i desnu stranu jednačine} {skratimo 5 u imeniocu i 5 u brojiocu sa leve strane i dobijamo rešenje} |
Koraci: Pri rešavanju linearnih jednačina držaćemo se sledećih važnih koraka:
1. korak – OSLOBODIMO SE ZAGRADA;
2. korak – OSLOBODIMO SE RAZLOMAKA (ako se posle ovog koraka opet jave zagrade, vratimo se na korak 1);
3. korak – NEPOZNATI LEVO, POZNATI DESNO;
4. korak – REŠIMO PROSTU LINEARNU JEDNAČINU 😉
Objasnimo svaki korak posebno.
1. korak – OSLOBODIMO SE ZAGRADA
U ovom koraku oslobodićemo se zagrada u jednačini (ukoliko ih uopšte ima, naravno J ). To radimo koristeći odobinu DISTRIBUTIVNOSTI.
Distributivnost:
{svaki iz zagrade množimo sa A} |
Takođe, u ovom koraku može se javiti i množenje polinoma koje se, opet, svodi na distributivnost:
Množenje binoma:
{svaki iz prve zagrade množimo sa svakim iz druge zagrade} |
PRIMER 2:
{problem koji treba rešiti: osloboditi se zagrada} {x i 2 iz zagrade množimo sa 5} {nema više zagrada J} |
PRIMER 3:
{problem koji treba rešiti: osloboditi se zagrada} {x i -2 iz prve zagrade množimo sa x i 4 iz druge} {nema više zagrada J} |
2. korak – OSLOBODIMO SE RAZLOMAKA
Posmatrajmo sledeći zadatak:
Množenjem leve i desne strane nekim brojem i skraćivanjem imenioca, možemo se osloboditi razlomaka. Međutim, problem je koji je to broj?
Ako pomnožimo sa 3, skratićemo razlomak na levoj strani, ali nam ostaje onaj na desnoj. Ako, pak, množimo sa 2, skratićemo onaj na desnoj, dok nam razlomak na levoj ostaje. Dakle, treba nam broj koji može da se skrati sa oba imenioca, i 2 i 3. Najmanji takav broj je najmanji zajednjički sadržilac (NZS) brojeva 2 i 3, a to je broj 6.
Dakle, ako pomnožimo levu i desnu stranu jednačine sa 6, pokratićemo i levi i desni razlomak i izgubiti ih. J
{NZS za 2 i 3 je 6}
{množimo levu i desnu stranu sa 6}
{skratimo razlomke i izgubimo imenioce}
{dobijemo prostu linearnu jednačinu…}
{… koju već znamo da rešimo 😉 }
Dakle, pravilo bi bilo sledeće: Da bi se oslobodili razlomaka u jednačini, množimo je sa NZS svih imenioca u jednačini. |
PRIMER 4: {Imenioci su, u ovom slučaju, brojevi 5, 2 i 3, a NZS(5,2,3)=30}
{množimo levu i desnu stranu jednačine sa 30} {oslobodimo se novodobijenih zagrada koristeći distributivnost} {sredimo levu i desnu stranu} {oduzmemo brojeve sa desne strane} {rešimo prostu linearnu jednačinu} {Kraj 😉 } |
NAPOMENA: Moguće je da se nakon ovog koraka opet pojave zagrade. U tom slučaju se opet vraćamo na korak 1.
3. korak – НЕПОЗНАТИ ЛЕВО, ПОЗНАТИ ДЕСНО
U ovom koraku cilj nam je da se svi nepoznati budu na levoj, a svi poznati na desnoj strani.
NAPOMENA: Setimo se da više nemamo ni zagrade ni razlomke što nam poprilično olakšava posao.
Znak svakog elementa u jednačini vezaće se za taj element tako da gde god da pomerimo element, znak ide sa njim. To znači da je 2x-3 isto što i -3+2x jer je ispred elementa 2x znak +, e ispred elementa 3 znak -.
Kako svi nepoznati moraju da budu na levoj strani prebacićemo sve elementi koji sadrže nepoznatu na levu stranu, a sve poznate na desnu. Naravno, one koji su već na svojoj strani nećemo da premeštamo.
Najvažnije pravilo u ovom koraku je: Kad menja stranu, menja i znak. |
PRIMER 5: {elementi koji sadrže nepoznate su 3x i -2x (podvučeni), pa njih moramo da prebacimo na levu stranu jednačine}
{elementi koji su poznati su brojevi 4 i 18 (podvučeni) pa njih prebacujemo na desnu stranu jednačine} {kako je 3x već sa leve strane njega ne diramo, ali je -2x sa desne strane, i njega prebacujemo na levu i pritom menjamo znak pa od -2x dobijamo +2x} {18 je poznat broj i već se nalazi na desnoj strani pa njega ne diramo, ali je 4 poznat broj i na levoj je strani pa ga prebacujemo na desnu i menjamo mu znak i on postaje -4} {sada su svi nepoznati levo, a svi poznati desno pa možemo da sredimo obe strane} {opet smo dobili prostu jednačinu koju znamo da rešimo} {Kraj J} |
4. korak – REŠIMO PROSTU LINEARNU JEDNAČINU
Ovaj korak smo već objasnili pa nema potrebe da se zadržavamo kod njega. J
Primena koraka: Sada ćemo primeniti ova četiri koraka na jednačinu s početka izlaganja:
1. korak – OSLOBODIMO SE ZAGRADA {oslobodimo se zagrade na levoj strani}
{sređivanjem dobijamo jednačinu bez zagrada} 2. korak – OSLOBODIMO SE RAZLOMAKA {NZS(5,3)=15 pa jednačinu množimo sa 15} {primenimo distributivnost} {skratimo razlomke} {sređivanjem dobijamo jednačinu bez zagrada i razlomaka} 3. korak – NEPOZNATI LEVO, POZNATI DESNO {elementi koji sadrže nepoznatu su podvučeni, a ostali su poznati} {prebacili smo -15x na levu, a 27 na desnu stranu i pri tome im promenili znak} {dobili smo prostu linearnu jednačinu} 4. korak – REŠIMO PROSTU LINEARNU JEDNAČINU {rešimo prostu linearni jednačinu i skratimo razlomak sa desne strane} {i evo rešenja J} |
Na žalost, ovaj postupak ne može da reši baš svaku jednačinu, ali će vam sigurno pomoći kod onih koje se najčešće javljaju. Cilj cele ove priče je da, kada dobijete zadatak da rešite neku linearnu jednačinu, ne gubite vreme razmišljajući: “Šta sada da radim?”, već da odmah krenete u rešavanje, korak po korak.
Nadam se da će vam pomoći .
Srećno! J
Fino,
kad nastavnika zakasni sa pripremom za čas evo gotovog rešenja. Odličan primer korišćenje blogova u nastavi.
Hvala. 🙂
Odlično. Nisam baš načisto ko je ciljna grupa, đaci ili kolege profesori, verovatno i jedni i drugi? Za đake bi možda bio zanimljiv post koji bi dao “motivaciju”, neke “realne” probleme koji se svode na linearne jednačine, npr. danešto kao Mića je kupio 5 kg jabuka za 15 dinara…
Hvala Bane. Odlična ideja. Potrudiću se da ubacim i tako nešto.
odlicno samo da se po jos nesto ubaci inace je ok 😀
Hvala najlepše. 🙂
Potrudiću se u toku leta da još obogatim tekstove primerima.
dali mi neko moze uraditi ovaj zadatak
Naravno, nema problema.
x x
– + – + 20 = x
3 2
Kako nema zagrada preskačemo korak 1 i idemo na korak 2 – oslobađanje od razlomaka.
Razlomaka se oslobađamo tako što jednačinu množimo sa NZS(3,2), odnosno sa 6.
Skraćivanjem dobijamo
2x+3x+120=6x,
odnosno
5x+120=6x
Sada više nemamo ni zagrade ni razlomke, pa idemo na korak 3.
Prebacivanjem nepoznatih na jednu, a poznatih na drugu stranu znaka jednakosti, dobijamo:
6x-5x=120
odnosno
x=120
i to je to. 🙂
pa nema sa nepoznatom u imeniocu
Jednačine sa nepoznatom u imeniocu već ne spadaju u linearne, već u racionalne jednačine.
Probaću i tu da smislim neki algoritam. Hvala za ideju. 🙂
E legendo sta se redi kada je zadatak tipa da su u zagrade uspravne
Verovatno misliš na apsolutnu vrednost.
To je već za nijansu složenije jer jednačina mora da se razbije na dva slučaja: kada je izraz pod apsolutnom vrednošću veći i kada je manji od nule.
Mozete li da mi resite ovu linearnu jednacinu: 3x+2 2x+1 x
——- – —— = — – 1
8 5 20
molim vas hitno jee
Naravno. Probaćemo pomoću ova četiri koraka.
1. korak – Kako jednačina nema zagrade ovaj korak preskačemo.
2. korak – Oslobađamo se razlomaka množenjem celog izraza sa NZS(8,5,20)=40.
Skraćivanjem dobijamo:
Primerićete da su nam se javile zagrade. To je zbog znaka + u brojiocu prva dva razlomka. Zbog ovoga moramo da se vratimo na prethodni korak.
1. korak (drugi put 🙂 ) – Oslobađanjem od zagrada dobijamo:
odnosno
Zagrada više nema, a ni razlomaka pa idemo na treći korak.
3. korak – Nepoznati levo, poznati desno (ne zaboravite pravilo – kad menja stranu, menja i znak):
odakle sređivanjem imamo:
Ovo je prosta linearna jednačina pa je rešavamo lako u sledećem koraku.
4. korak – Rešavanje proste linearne jednačine:
odnosno
Dakle, rešenje je x = 14. 🙂
Nadam se da je od koristi.
Pozdrav
Moze resenje nejednacine x
– – < -2
3
Naravno. 🙂
Ovde je u pitanju NEjednačina, ali videćemo da i ovde možemo da primenimo četiri koraka.
1. korak – Zagrada nema pa idemo odmah na drugi korak.
2. korak – Razlomka se oslobađamo množenjem cele nejednajčine brojem 3. Kako je 3>0 znak < u nejednačini ostaje isti.
3. korak – Svi nepoznati su levo, a svi poznati desno pa i ovde možemo odmah da pređemo na sledeći korak.
4. korak – Poslednju nejednačinu rešićemo množenjem leve i desne strane sa -1. Ovde treba biti pažljiv jer množenje nejednačine negativnim brojem MENJA ZNAK iz .
Dakle, rešenje je skup svih realnih brojeva koji su manji od 6, odnosno
Pozdrav
Evo jel mozete da mi resite ovu jednacinu 1-1/2(3x+2(x/2-3)-1/3(2x-1))=x/4
Naravno. Nema problema. Dakle, ako sam dobro razumeo, jednačina izgleda ovako:
Najpre se oslobodimo zagrada. Počećemo od unutrašnjih:
Obrati pažnju da nam se znakovi u drugoj unutrašnjoj zagradi menjaju jer je ispred zagrade minus.
Sada možemo da se oslobodimo i spoljašnje zagrade
Ovde takođe menjamo znakove u zagradi jer je ispred nje minus.
Nemamo višre zagrada pa se u sledećem koraku oslobađamo razlomaka množeći celu jednačinu sa NZS(2,2,3,6,4)=12.
Odakle dobijamo:
Skraćivanjem gubimo sve razlomke:
Odnosno:
Sada kada više nemamo ni zagrade ni razlomke, idemo na sledeći korak: nepoznati levo, poznati desno:
Odnosno
Dakle, dobili smo prostu linearnu jednačinu čije je rešenje:
Rešenje je x = 2. 😉
Pozdrav
zbir 3 uzastopna cijela broja je 87. Koji su to brojevi? Molim vas resenje i ako je moguce objasnjenje 😀
Naravno.
Pretpostavimo da je x prvi od traženih brojeva.
Kako su u pitanju uzastopni celi brojevi sledeći broj mora biti x+1, a treći je x+2.
Kako znamo da je zbir ta tri broja 87 važi da je:
(x)+(x+1)+(x+2)=87
odnosno
x+x+1+x+2=87
odakle dobijamo
3x+3=87
Odavde je
3x=87-3
3x=84
pa je
x=84/3
odnosno
x=28
Da se podsetimo: x=28 je prvi od tri tražena uzastopna broja, što znači da su ostali traženi brojevi 29 i 30.
I zaista, važi
28+29+30=87
Nadam se da je pomoglo.
Pozdrav.
Bojan
mozete li da mi rijesite ovaj zadatak: Duzine osnovnih ivica kvadra se odnose kao 12:5. izracunaj povrsinu kvadra visine 1m,ako povrsina njegovog dijagonalnog presjeka iznosi 16 900 centimetara kvadratnih.. unapred zahvalna,
Naravno.
Da bismo izračunali površinu, potrebno je da nađemo stranice kvadra. Označimo stranice na osnovi sa a i b, a bočnu stranicu (visinu) sa c.
Svaki od podataka iz zadatka daje nam vezu između nepoznatih dužina stranica a, b i c.
Najpre, c nam je već dato jer je c=1m=100cm.
Takođe, znamo da se osnovne ivice (a i b) odnose kao 12:5, odnosno a:b=12:5.
Ovo je proporcija, a znamo da je u proporciji proizvod spoljašnjih jednak proizvodu unutrašnjih članova, odnosno 5a=12b, odakle dobijamo da je a=12b/5. Dakle, dobili smo jednu vezu između stranica a i b, ali nam je potrebna još jedna.
Iz postavke zadatka znamo da je površina dijagonalnog preseka 16900 cm^2 (oznaku ^2 koristimo da označimo “na kvadrat”). Dijagonalni presek je pravougaonik čija je jedna stranica dijagonala osnove (označimo je sa d), a druga je visina c=100cm.
Dakle važi: d*c=16900, odnosno d*100=16900, pa je d=16900/100 odakle dobijamo da je d=169cm.
Znamo da je d dijagonala pravougaonika koji je u osnovi našeg kvadra i čije su stranice a i b. Dijagonalu d možemo izračunati koristeći Pitagorinu teoremu, odnosno a^2+b^2=d^2. Kako d imamo dobijamo a^2+b^2=169^2 što nam je druga veza između nepoznatih stranica a i b.
Kako smo ranije pokazali da je a=12b/5, ovde možemo a zameniti sa 12b/5, odakle dobijamo (12b/5)^2+b^2=169^2, što je jednačina sa jednom nepoznatom b. Rešimo ovu jednačinu:
(12b/5)^2+b^2=169^2
144*b^2/25+b^2=169^2
144*b^2/25+25*b^2/25=169^2
169*b^2/25=169^2
b^2=169*25
b=13*5
b=65cm
Dakle, izračunali smo da je b=65cm, sada nađimo a:
a=12*b/5
a=12*65/5
a=12*13
a=156cm^2
Sada imamo sve stranice kvadra pa možemo izračunati njegovu površinu:
P=2*(a*b+a*c+b*c)
P=2*(65*156+65*100+156*100)
P=2*(10140+6500+15600)
P=2*32240
P=64480cm^2
i to bi trebalo da bude tražena površina. 🙂
Pozdrav
Bojan
Osnova prave piramide je romb cije dijagonale imaju duzine d1=10cm i d2=24cm.Izracunaj povrsinu piramide,ako je njena visina H=2cm…hitno mi je potrban ovaj zadatak.
Probaćemo da rešimo i ovaj zadatak 😉 .
Površinu piramide čine osnova (B) i omotač (M).
U osnovi je romb, a površina romba je polovina proizvoda dijagonala, odnosno:
Površinu omotača M čine četiri podudarna trougla čija je osnovica a, a visina (apotema) ha, pa je:
Međutim, ovde nam fali apotema pa ćemo morati da je izračunamo.
Najpre treba naći osnovicu a. Nju tražimo koristeći činjenicu da se dijagonale romba seku pod pravim uglom pa njihove polovina sa osnovicom čine pravougli trougao. Iz Pitagorine teoreme dobijamo:
Sada kada imamo osnovicu iskoristićemo to da polovina osnovice, apotema i visina piramide čina pravougli trougao.
Dakle, dobijamo:
Sada kada imamo apotemu, možemo da nađemo površinu omotača:
Vratimo se na površinu cele piramide:
I to je tražena površina. 🙂
moze li jos ovaj ako nije problem…Osnova prave piramide je trougao cije dvije stranice imaju duzine a=8,5m i b=5m.Duzina visine tog trougla koja odgovara trecoj stranici iznosi 4m.Izracunaj povrsinu piramide,ako njena visina ima duzinu H=sedam trecina metara.
molim vas da mi što prije riješite jednačine koje sam vam prije poslala hitno mi je treba mi za danas
sa poštovanjem i uvažavanjem
lagator sanja
Izvinjavamse. Na seminaru sam i jedva ugrabih priliku da rešim neke od zadataka.
Na žalost, opvde nemaju potrebne programe da Vam napišem zadatke u nekoj čirljivijoj formi :(.
Evo rešenja. Izvinjavam se zbog kašnjenja, ali mnogo je bilo obaveza ovih dana.
Pozdrav
mozete li da mi resite ovu jednacinu unapred hvala x-3,5=2/3
Naravno. Najpre sve brojeve prevedemo iz decimalnog zapisa u razlomak.
(Skratimo razlomak 35/10)
(Množimo sa 6 kako bi se oslobodili razlomka)
(Skraćivanjem dobijamo)
(Prebacimo nepoznate desno)
Pozdrav
hvala puno
Pozdarv Bojane !
Hvala na pomoći kod rješavanja linearnih jednačina. Bili ste upravu , pogrešno sam postavila četvrtu jednačinu pa vam sad šaljem ispravku iste .
3(y-1)² + (y+2)² = (y + 1)² + (y-3)² -35
Sanja Lagator
Nema na čemu. Nadam se da će pomoći.
Evo još jednog rešenja.
Ovde se dobija kvadratna jednačina za koju najpre računamo diskriminantu:
Kako je diskriminanta manja od nule, ova jednačina nema realna rešenja.
Pozdrav.
Bojan
Molim Vas da mi riješite jošjednu :
2(2x+1)² + 3(x+½)= (3x-5)² -x²-1
Naravno. Evo rešenja:
(Množimo sa 2 da se oslobodimo razlomka)
Pozdrav.
Bojan
Molim Vas da mi riješiti što prije jednačine jer mi trebaju za danas,suta ih moram imati u skoli
Unaprijed hvala,računam na Vas,
Sanja Lagator
Bojane
Puno hvala,vaše objašnjenje mi je puno pomoglo,
Sanj aLagator
Nema na čemu. Drago mi je da Vam je objašnjenje pomoglo.
To je, u suštini, i cilj mog rada, pa su ovakve poruke moja najveća nagrada.
Srdačan pozdrav.
Bojan
Dat je trougao ABC .Konstruiši trougao A1 B1 i C1 simetričan uglu ABC u odnosu simetrije p koja siječe dvije stranice trougla .
Unaprijed zahvalna Maja Lagator , moja sestra .
Na žalost, ovaj zadatak spada u oblast geometrije, pa je malo teže rešiti ga ovako onlajn.
Probao sam da napravin program u Geogebri koji bi to lepše objasnio, ali je WordPress još uvek ne podržava (bar ne u .com varijanti). 😦
x 1
– / – = 1 .. ? objasnite kak se ovo radi..unaped hvala
2 3
Ako sam dobro razumeo, u pitanju je sledeća jednačina:
Setimo se, najpre, da rezlomke delimo tako što deljenik množimo recipročnom vrednošću delioca:
Razlomke množimo tako što pomnožimo imenioc imeniocem, a brojilac brojiocem:
Množenjem sa 2 oslobađamo se razlomka:
Ovo je prosta linearna jednačina čije je rešenje:
Cao Bojane moze li mi molim te rijesiti jedan zadatak STO PRIJE ,glasi ovako :
U kojem odnosu djele kruznicu krajnje tacke luka (AB),ako tom luku odgovara periferijski ugao cija je velicina :
a) 60 stepeni
b) 120 stepeni
c) 96 stepeni
riješenja u knjizi su data ,ali meni i dalje nije jasno kako:
a)1:5
b)1:2
c)4:11
ako ne mozes da ga uradis ili da ga nacrtas makar mi objasni princip rada ili crtanja.
Unaprijed zahvalana
Sanja
Može, naravno.
Doduše, konkretno u ovom zadatku uočavam grešku u rešenju ili u samoj postavci zadatka. Naime, ako u zadatku stoji “periferijski ugao”, rešenje pod a) bi trebalo da bude 1:2, a ne 1:5. Sa druge strane, ako bi u zadatku pisalo “centralni ugao”, rešenje je zaista 1:5.
Prva situacija je složenija. Pretpostavimo da je greška u rešenju, odnosno da je tekst zadatka tačan i da je dat periferijski ugao. Pogledajte sliku:
Ugao nacrtan isprekidanim linijama je ugao od 60 stepeni iz zadatka (dakle, periferijski ugao). On odgovara crvenom kružnom luku.
Prema osobini perifernog i centralnog ugla nad istim kružnim lukom, centralni ugao nad istim (crvenim) kružnim lukom je dva puta veći od periferijskog, pa on ima 2×60=120 stepeni.
Kako pun ugao ima 360 stepeni, centralni ugao nad zelenim kružnim lukom ima 240 stepeni.
Ono što je važno u ovom zadatku jeste da su crveni i zeleni kružni lukovi sa slike u istom odnosu kao i njihovi centralni uglovi, dakle 120:240, odakle skraćivanjem sa 120 dobijamo 1:2. (Ovo je rešenje zadatka ako je periferijski ugao 60 stepeni.)
Druga varijanta je jednostavnija. Pretpostavimo sada da je postavka zadatka pogrešna i da umesto “periferijski ugao” treba da piše “centralni ugao”. Pogledajte sliku:
Dati ugao od 60 stepeni odgovara crvenom kružnom luku. Zelenom kružnom luku odgovara, dakle, ugao od 300 stepeni (jer zajedno daju pun ugao od 360 stepeni).
Opet ćemo iskoristiti osobinu da se dužine kružnih lukova odnose kao i mere njihovih uglova, pa će odnos crvenog i zelenog kružnog luka biti 60:300, odakle skraćivanjem sa 60 dobijamo odnos 1:5. (Ovo rešenje odgovara rešenju datom u knjizi.)
Na isti naččin se rade i zadaci pod b) i c).
b) Uglovi su 120 stepeni i 240 stepeni, pa je odnos odgovarajućih kružnih lukova 120:240, odakle se skraćivanjem sa 120 dobija 1:2.
c) Uglovi su 96 stepena i 264 stepeni, pa je odnos njihovih kružnih lukova 96:264, odakle se skraćivanjem sa 24 dobija 4:11.
Pretpostavljam da je greška u postavci zadatka i da bi trebalo da piše “centralni ugao” umesto “periferijski ugao”, ali proverite za svaki slučaj, sa nastavnikom/profesorom.
Nadam se da nisam bio previše dosadan. 😀
Pozdrav
Bojan
Možete li mi pomoci ovu jednačinu.U vrtu su zečevi i kokoši,djecak je izbrojao 126 nogu i 25 kokošji glava.koliko je zečeva tada bilo u vrtu??? Molim vas pomozite mi rješiti ako ne uspijem riješiti dobit ću 1 😦
Nema problema. 🙂
Označimo broj zečeva sa x.
Dečak je izbrojao 26 kokošijih glava što znači da u vrtu ima 26 kokošaka.
Svaka kokoška ima dve noge što je ukupno 26 kokošaka puta po 2 noge = 26*2 = 52 noge.
Rekli smo da u vrtu ima x zečeva.
Svaki zec ima 4 noge što je ukupno x zečeva sa po 4 noge = 4x nogu.
Ukupan broj nogu životinja u vrtu je 126 od čega su 52 kokošije, a 4x zečije, dakle
52+4x=126 (prebacimo 52 na desnu stranu jednakosti pa, kako menja stranu, menja i znak i postaje -52)
4x=126-52 (..a to je..)
4x=84 (..odakle imamo da je..)
x=84:4 (..odnosno..)
x=21
Dakle, u vrtu je tada bio 21 zec.
Pozdrav. 😉
kako da izracunam X odavde … x^3 – 6* x^2 + 12*x = 8
Treba rešiti jednačinu:
Ovde imamo jednačinu terćeg stepena (kubnu jednačinu) za koju postoji formula za rešavanje, ali je jako složena pa često ovakve jednačine rešavamo razlaganjem kubnog polinoma.
Konkretno ovaj primer možemo da rešimo na dva načina.
Prvi način:
Najpre prebacimo sve članove na levu stranu (pazeći pritom koji od njih menjaju znak). U našem slučaju osmica sa desne strane prelazi na levu i menja znak te postaje -8, pa dobijamo:
Setimo se formule za razlaganje kuba binoma (konkretno kuba razlike):
Pokušajmo da razložimo našu jednačinu da “liči” na desnu stranu formule:
Dakle, imamo da je , a , pa se leva strana jednačine može razložiti kao:
Sada naša jednačina ima oblik:
Jedini broj koji na kub daje 0 je sama 0, pa mora da je:
odakle dobijamo rešenje
Drugi načina:
Drugi način je malo složeniji, ali može da se primeni na neke jendačine koje ne mogu da se razlože pomoću formule za kub binoma.
Ovaj postupak zahteva malo vežbanja kako bi se lakše uočili neki koraci (i malo sreće ).
Prvo, kao i u prethodnom slučaju, prebacimo sve članove na levu stranu:
E, sada ide neobičan deo. Najpre ćemo da napišemo kao i dobijamo:
Ako iz prva dva člana izvučemo kao zajedničko ispred zagrade, ostaje nam:
Sada hoćemo isto da uradimo i sa druga dva člana, ali da nam u zagradi opet ostane . Da bismo to mogli da uradimo moramo da napišemo kao , pa dobijamo:
Sada iz druga dva člana možemo da izvučemo -4 i dobijamo:
Na kraju nam ostaje gde kao zajedničko možemo da izvučemo 4, pa dobijamo:
Sada kao zajednički element možemo ispred zagrade da izvučemo , pa imamo:
U zagradi nam ostaje kvadratni polinom koji možemo razložiti pomoću formula, ali možemo ponoviti prethodni postupak:
Sada naša jednačina postaje:
Odnosno:
Odavde se nastavlja kao u prethodnom slučaju.
Nadam se da nisam previše iskomplikovao rešenje.
Pozdrav
Bojan
cao Bojane ,
sutra imamo pismeni iz matematike pa vježbam i nisam sigura da mi je tačna ova nejednačina :
2x-3 3x – 1 x
———- + ———– da je manje ili jednako od 1- —
3 2 6
2x-3 3x – 1 x
———- + ———– da je manje ili jednako od 1- —
3 2 6
ovako ide nejednačina gore se nije dobro poslalo
Cao Bojane ,
moram vas pitati makar za objašnjenje ovog zadatka ,ako mi već ne možete uraditi jer mi nije jasan :Krajnje tačke A i B tetive AB djele kružnicu u odnos 5:3 . Odredi pod kojim se uglom ta tetiva vidi iz bilo koje tačke manjeg ili većeg kružnog luka .
to je taj zadatak sjutra mi j epismeni pa vas molim da mi što prije uradite ,jer mislim da će biti .
unaprijed zahvalna,
Sanja lagator
P.S
pomaži ako znaš jer ako na ovaj pismeni ne dobijem pet neće mi dati ni za kraj godine .
sve zavisi od tebe !
Nema problema 🙂 .
Zadatak je vrlo sličan zadatku koji ste mi ranije poslali. Naime, kako je kružnica podeljena na dva kružna luka u odnosu 5:3, u istom odnosu biće i centralni uglovi nad tim lukovima. Označimo te uglove sa i (crveni i plavi uglovi na slici).
Dakle, o njima znamo da čine pun ugao, odnosno da je:
,
i da se međusobno odnose kao 5:3, to jest:
Odavde primenom računa podele dobijamo da je i .
Zamenimo ovo u jednačini i dobijamo:
,
to jest
,
pa je
Sada možemo da izračunamo uglove i .
Ako pažljivo pročitamo zadatak videćemo da se od nas traži da odredimo pod kojim se uglom ta tetiva vidi iz bilo koje tačke manjeg ili većeg kružnog luka, a to su, u stvari, periferijski uglovi nad upravo određenim centralnim uglom .
Setimo se da je periferijski ugao nad tetivom dvostruko manji od centralnog ugla nad istom tetivom, pa je traženi ugao dvostruko manji od ugla , odnosno . Ovo je ugao pod kojim se ta tetiva vidi sa bilo koje tačke na većem kružnom luku (zeleni ugao na slici).
Sa druge strane, ugao pod kojim se ta tetiva vidi iz bilo koje tačke kraćeg luka je polovina ugla , pa je .
Dakle, traženi uglovi su i .
Puno sreće sutra na pismenom. 😉
Pozdrav
Bojan
velika razlomačka crta ,pa gore 2x – 3 a dole 3 ,minus pa velika razlomačka crta iznad 3x-1 ispod 2 ,da je manje ili jednako 1- x kroz 2. evo je izvini što ti dva puta šaljem pogrešno nadam se da ćeš razumeti ovu .
srdačan pozdrav
Ako sam dobro razumeo, u pitanju je sledeća nejednačina:
Rešavaćemo je koristeći istu proceduru kao za rešavanje jednačina, dakle, nejpre ćemo se psloboditi razlomaka (jer zagrada nema). To radimo tako što celu nejednačinu množimo sa NZS svih imenioca (NZS(3,2,2)=6).
Ne smemo da zaboravimo da brojiocima dodamo zagrade jer sadrže sabiranje (+) i oduzimanje (-):
Skraćivanjem dobijamo nejednačinu:
Oslobađanjem od zagrada (korišćenjem osobine distributivnosti) dobijamo:
Sada prebacujemo nepoznate levo, a poznate desno pazeći pri tome da članovi koji menjaju stranu, menjaju i znak:
Sređivanjem leve i desne strane dobijamo:
Sada nam problem pravi minus sa leve strane. Da bismo se oslobodili njega možemo nejednačinu pomnožiti sa -1. Ovde treba biti pažljiv jer kada nejednačinu množimo negativnim brojem, znak nejednakosti se menja (≤ postaje ≥):
I rešavanjem ove proste nejednačine dobijamo:
Odnosno:
Nadam se da je pomoglo i držim vam palčeve sutra. 😉
Pozdrav
Bojan
Cao Bojane ,
Puno ti hvala na pomoći i naravno na objašnjenju
sanja
Nema na čemu. Nadam se da će pomoći.
Pozdrav
Bojan
cao Bojane
molim te mozes li mi ovaj zadatak uradit za sutra jer mi je hitno a nisam sigurna kako se radi nije mi bas jasno :
U jednoj skoli ima 760 učenika i nastavnika.Djecaka ima 8 puta vise nego nastavnika,a broj djevojcica prema broju djecaka je 5:4.Koliko je u toj skoli djecaka,koliko nastavnika,a koliko djevojcica?
Unaprijed hvala .
sanja
Cao Bojane,
Nisam bila skoli pa mi nisu jasni neki zadatci ,nadam se da ces mi moci objasniti preko interneta jer su zadatci iz oblasti geometrije.
1. Ravan φ prolazi kroz središte duži AB.Dokaži da se krajnje tačke te duži nalaze na jednakom rastojanju od ravni φ .
2.Ravan φ prolazi kroz diagonalu BD paralelograma ABCD.Dokaži da se tjemena A i C nalaze na jednakom rastojanju od ravni φ .
3.Krajnja tačka B duži AB pripada ravni φ , a iz krajnje tačke A povučena je normala AC na tu ravan.Povuci sredje duži pravouglog trougla ABC i odredi rastojanje središta duži AB od ravni φ ako je rastojanje tačke A od te ravni je4dnako 6 cm .
4. Ravan φ sadrži stranicu AB paralelograma ABCD.Odredi rastojanje od tačke u kojoj se sijeku dijagonale AC i BD do ravni φ , ako je rastojanje tjemena C i D od te ravni jednako 4 cm.
5.Krajnje tačke duži AB nalaze se sa icte strane ravni φ .Iz tačaka
A i B spuštene su normale AC i BD do ravni φ ,ako je rastojanje tjemena C i D od te ravni jednako 4cm.
Molim vas da mi ove zadatke odradite sa crtežom jer mi je to potrebno.
Molim se da ćeš mi što prije moći uuraditi zadatke potrebna su mi makar dva.
Unaprijed zahvalna na svemu do sada .
Sanja Lagator
Sanja, na žalost, nisam uspeo da odgovorim na vreme i izvinjavam se zbog toga. Imao sam previše obaveza pa sam malo zapostavio blog. 😦
Nema nikakvih problema .Molim vas da mi uradite ovaj zadatak :
Dužina ivica dvije kocke se odnose kao 3:2,a njihove površine se razlikuju za 120 cm na kvadrat.izračunaj ivice kocke.,unaprijed hvala !! 🙂
Dužina ivica dvije kocke se odnose kao 3:2,a njihove površine se razlikuju za 120 cm na kvadrat.
Naravno, nema problema.
Obeležimo dužinu ivice jedne kocke sa , a druge sa . Prema uslovima zadatka, važi da je
Pravilo proporcije nam kaže da je proizvod spoljašnjih članova, jednak proizvodu unutrašnjih, pa imamo da je:
Odnosno:
Sa druge strane, opet prema uslovima iz zadatka, imamo da se njihove površine razlikuju za . Površina jednog kvadrata je , a drugog , pa je njihova razlika:
Ako zamenimo sa (jer je, prema prethodnom, ), dobićemo:
Sada smo dobili običnu jednačinu sa jednom nepoznatom koju nije teško rešiti. Naime, oslobodimo se najpre zagrade:
Sada se oslobodimo razlomka tako što celu jednačinu množimo sa njegovim imeniocem, odosno sa 4:
Dužinu stranice drugog kvadrata dobijamo iz veze :
Provera:
Proverimo najpre u kakvom su odnosu stranice i :
Dakle, važi pa je prvi uslov iz zadatka ispunjen.
Nađimo sada razliku između površina ova dva kvadrata. Površina prvog kvadrata je:
Površina drugog kvadrata je:
Razlika između površina ova dva kvadrata je
Pa je i drugi uslov iz zadatka ispunjen, što znači da nam je dobijeno rešenje tačno. 🙂
Pozdrav.
Bojan
ne razumijem u cetvrtim primjeru kako ispane 6*5x posto 30 dojelimo sa 5 tako dobijemo 6 a gdje sada ode ono 3x
Mea culpa. Greška mi se provukla kroz skriptu jer sam menjao neke primere. Na originalnoj skripti sam je ispravio, ali sam zaboravio da je ispravim na blogu.
Hvala najlepše što ste mi ukazali na nju, Saša.
Pozdrav.
Bojan
Hitno mi je potrebna pomoc oko ovog zadatka:Zbir cifara dvocifrenog broja je 12.Ako im zamjenimo mjesta dobicemo broj koji je za 18 veci od zadanog broj.koji je to broj?Hvala unaprijed
Naravno, nema problema.
Naime, neka su to cifre i .
Znamo da je njihov zbir 12, pa važi:
Sa druge strane, svaki dvocifreni broj možemo da napišemo na sladeći način:
(na primer, )
Kada im zamenimo cifre, dobićemo broj
Dobijeni broj je za 18 veći od zadanog broja, pa je:
Sada zamenimo prethodno dobijene izraze i dobijamo:
Sređivanjem ovog izraza dobijamo:
Dobijamo sistem od dve jednačine sa dve nepoznate:
Ovaj sistem možemo da rešimo, bilo smenom, bilo metodom suprotnih koeficijenata. Primenimo, na primer, ovaj drugi. Gornju jednačinu množimo sa 9:
Sabiranjem ove dve jednačine dobijamo:
Dobili smo da je cifra 7. Znamo da je zbir cifara 12, pa je cifra .
Dakle, traženi broj je 57.
Provera je vrlo jednostavna.
Zbir cifara broja 57 je .
Ako ciframa zamenimo mesta, dobićemo broj 75 koji je za 18 veći od početnog broja 57. 🙂
Pozdrav.
Bojan
Moze li mi neko resiti ova dva zadatka? Hitno mi treba. Unapred veliko hvala..
1. Stub je ukopan u zemlju trecinu svoje duzine, polovina duzine je u vodi, a 2 m viri iznad vode. Kolika je duzina stuba?
2. Ako se sa 240 kg sena 5 ovaca moze hraniti 8 dan, koliko je sena potrebno da stadood 80 ovaca hrani 15 dana.
[Enter Post Title Here]
Naravno.
1. Označimo nepoznatu dužinu stuba sa x. Trećina stuba je u zemlji (odnosno ), polovina u vodi (dakle ), a 2m iznad vode. Sve ove dužine zajedno čine dužinu celog stuba (odnosno x). Odavde dobijamo jednačinu:
Oslobodimo se najpre razlomaka množenjem cele jednačine sa NZS(3,2)=6:
Prebacimo nepoznate levo, a poznate desno:
Sređivanjem dobijamo:
Dakle, dužina stuba je 12 metara što se može proveriti:
Trećina dužine stuba je u zemlji, a to je trećina od 12m. Dakle, 4m dužine stuba je u zemlji.
Polovina stuba, odnosno 6m, je u vodi, a ostatak (2m) iznad vode što nam se slaže sa podacima iz zadatka, pa je dobijeno rešenje tačno.
2. Ovde je u pitanju složena proporcija (sa tri veličine). Postavimo najpre sve kolone:
Odaberimo kolonu koja sadrži nepoznatu x kao „glavnu“ (kolona Masa sena) i uporedimo ostale sa njom kako bi postavili „strelice“ koje nam pomažu da postavimo proporciju.
Što je više ovaca, to nam treba više sena pa su prve dve kolone u direktnoj poroporcionalnosti. To znači da pored njih postavljamo strelice u istom smeru.
Takođe, što je više dana, to nam je potrebno više sena, pa su i prva i treća kolona takođe u direktnoj proporcionalnosti.
Zaključujemo da sve strelice koje postavljamo imaju isti smer.
Prateći strelice, postavljamo proporcije:
Odavde, množenjem spoljašnjih i izjednačavanjem sa proizvodom unutrašnjih članova, dobijamo:
Dakle, za 80 ovaca za 15 dana potrebno je 7200kg sena.
Pozdrav.
Bojan
Bojane ,
Molim te možeš li mi riješiti nekoliko zadataka ,nisam bila u skoli kada smo ucili a moram uraditi diomaci :
1. Dužina osnovne ivice pravilne trostrane piramide je 3 cm, a površina omotača
je dva puta veća od površine osnove. Odrediti dužinu visine bočne strane.
2. Riješiti nejednačine 260x−≥ i 22xx−≤ skupu R i odrediti njihova zajednička
rješenja.
MOLIM TE STO PRIJE MAKAR DO KRAJA RASPUSTA 20 . JANUARA
UNAPRIJED ZAHVALNA
sanja lagator
Cao Bojane,molim te da mi uradis moze i posle kad god stignes ali samo da znam rjesenje
Unaprijed zahvalna
Sanja
Dužina osnovne ivice pravilne trostrane piramide je 3 cm, a površina omotača je dva puta veća od površine osnove. Odrediti dužinu visine bočne strane.
Dakle, treba naći dužinu visine bočne strane, odnosno apotemu (označimo je sa h), dok nam je data dužina stranice . Za to nam može poslužiti formula kojom računamo površinu omotača pravilne trostrane piramide:
M možemo naći iz uslova zadatka da je površina omotača dva puta veća od površine osnove, odnosno:
Osnovu date piramide čini pravilan trougao (odnosno jednakostraničan trougao) čiju površinu računamo pomoću formule:
Kako znamo da je , dobijamo:
Sada zamenimo u prthodnoj formuli i dobijamo:
Sada kada imamo M i a, možemo naći h:
I dobijamo da je .
Drugi zadatak, na žalost, ne razumem. Probaj da ga otkucaš malo bolje.
Pozdrav. 🙂
hvala puno!!! Dosta sam naucio iz ovoga!!! 😀
Nema na čemu. Drago mi je da je tekst od koristi. 🙂
Odlican blog, odlicno objasnjenje, sve pohvale administratoru. Pozdrav
Hvala najlepše 🙂 . Pozdrav.
jel moze rjesenje nejednacine molim vas…20xY-400>9600 hvala unaprijed
Može, naravno.
Polazimo od nejednačine
20y-400>9600
Prebacujemo -400 sa leve na desnu stranu, te menja znak u +400
20y>9600+400
pa imamo da je
20y>10000
Odavde je
y>10000:20
pa je rešenje
y>500
Nadam se da će pomoći. 😉
Treba mi pomoc molim vas za sutra
Jednacina
X (X+1)-(X-3) (X+2)=0
Nema problema. Ovaj zadatak sadrži jednu malu zamku i treba biti jako oprezan priliko njenog rešavanja. Dakle, rešavamo jednačinu:
Najpre se oslobodimo zagrada.
Prvi deo izraza sa leve strane ne pravi problem (primenićemo distributivnost), međutim, treba biti jako oprezan sa desnim delom izraza. Naime, on se sastoji iz proizvoda dva binoma . Međutim, obratite pažnju da je ispred tog proizvoda znak minus. E, tu je zamka! Taj minus će nam promeniti sve znakove u konačnom proizvodu ovih binoma. Da ne bi rizikovali da previdimo promenu nekog od znakova, sređivaćemo izraz u dva koraka: u prvom ćemo samo pomnožiti binome bez oslobađanja od spoljašnje zagrade, a u drugom ćemo se osloboditi zagrade.
E tek sada ćemo da se oslobodimo zagrada. Kako je ispred zagrade znak minus, menjamo sve znakove u zagradi:
Sređivanjem dobijamo:
Odnosno:
Pa je rešenje:
Nadam se da će ovo objašnjenje pomoći da lakše prepoznate ovakve situacije i rešite ih.
Pozdrav
Treba mi pomoc trebam mi sad odma jednacina
Ako moze hitnno je
1,5X-2=0,6X-0,2
Molim vas ako moze odma
Netreba nikakvo objasnjenje samo uradiz zadatak
Naravno. Ovo možemo da rešimo na više načina. Evo jednog:
(množimo sa 10)
Pozdrav.
Hvala puno na pomoci 🙂
Ako moze pomoc
Netreba objasnjenje samo zadatak
Jednacina je
X+8=3X+2
Hitno je
Ovaj već opšte nije težak. Evo rešenja:
Probaj sledeći sama. Videćeš da nije teško. Samo pažljivo prati korake i eto rešenja. 😉
Ako nije problem mozel jos jedna jednacina isto netreba objasnjenje samk zadatak
Ako nije problem 😉
(X+5) (X+2)-3(4X-5)=(X-5)pa to na kvadrat to zadnje u zagradi.
Moze li rjesenje jednacine molim vas, treba mi
7 u brojniku kroz x na kvadrat – 1 u nazivniku + 8x u brojniku kroz x na kvadrat -2x+1 u nazivniku = 17 +8x u brojniku kroz x na kvadrat -1 u nazivniku. Bila bi vam jako zahvalna ako mi odg do ponedeljka. Lijep poz super ste
Naravno. Nadam se da sam dobro razumeo kako glasi jednačina. Ako ima problema, javite mi da ispravim na vreme. 🙂
Ovo je složeniji slučaj i, zbog nepoznate u imaniocu, moramo biti pažljivi prilikom rešavanja. Naime, postoje vrednosi x za koje naša jednačina nije definisane pa njih ne možemo uzimati u obzir kao rešenja. Kako su u pitanju razlomci, njihovi imenioci ne sme biti jednaki nuli.
Razložimo najpre imenioce ovih razlomaka. Najpre
Imenilac drugog razlomka je je, u stvari, kvadrat binoma , pa je:
Sada naša jednačina izgleda ovako:
Prebacimo sada sve članove na levu stranu (pazeći pri tom na promenu znaka) i dobijamo:
Ovde moramo da pazimo da imenilac ne sme biti jednak nuli. To znači da svi činioci u imeniocima datih polinoma moraju biti različiti od nule, dakle:
pa je
I
Odakle je
Zaključujemo da naše x ne sme biti 1 ili -1.
Sada ćemo da saberemo razlomke na levoj strani. Međutim, da bismo ih sabrali, moramo najpre da ih dovedemo na isti imenilac. U ovom slučaju, naš zajednički imenilac sadržaće sve činioce imenilaca tri razlomka na levoj strani. Drugim rečima, proširićemo razlomke sa elementima koji im nedostaju, a imaju ih ostali imenioci. Prvi i treći množimo sa (x-1), a drugi sa (x+1):
Sada su svi imenioci jednaki pa možemo da saberemo razlomke:
Oslobodimo se sada zagrada u brojiocu:
Sređivanjem polinoma u brojiocu, dobijamo:
Ovaj razlomak će biti jednak nuli samo ako je brojilac 0, odnosno:
Odavde dobijamo:
odnosno, skraćivanjem dobijamo:
Nadam se da će pomoći. 😉
Pomoc oko resenja, molim vas.
A+B=1
B+C=1
A+C=-2
Hvala u napred
Ovo je već sistem od tri jednačine sa tri nepoznate.
Ako je A+B=1, onda je B=1-A.
Kada to zamenimo u B+C=1 umesto B, dobićemo 1-A+C=1, odnosno C-A=0, pa je C=A.
Sada u trećoj jednačini imamo da je A+C=-2, odnosno A+A=-2, odakle je A=-1.
Kako je C=A, tada je i C=-1.
Setimo se da je B=1-A, odakle dobijamo da je B=1-(-1)=2.
Dakle, rešenja su A=-1, B=2 i C=-1.
Pozdrav
Metod zamene:
(x+2)*(y-3)=xy+10
(x-1)*(y+2)=(5-x)*(2-y)
P.S
Ako moze objasnjenje… Molim Vas jako mi je bitno
(x+2)*(y-3)=xy+10
(x-1)*(y+2)=(5-x)*(2-y)
Ovaj sistem najpre možemo uprostiti oslobađanjem od zagrada. Tada dobijamo:
Sada nepoznate prebacujemo levo, a poznate desno:
Sređivanjem dobijamo:
Deljenjem druge jednačine sa 4, dobijamo:
Sada iz druge jednačine možemo da izrazimo nepoznatu y pomoću x
i zamenimo u prvu jednačinu (dakle, umesto pišemo ) i izračunamo vrednost nepoznate x:
Dakle, našli smo da je x = -2, pa sada možemo da nađemo i vrednost nepoznate y:
Rešenje ovog sistema je
Nadam se da ovo objašnjenje može da Vam pomogne.
Pozdrav
Bojan