Home > Srednja škola > KVADRATNE JEDNAČINE

KVADRATNE JEDNAČINE

KVADRATNE JEDNAČINE

Kvadratne jednačine imaju oblik a{{x}^{2}}+bx+c=0, gde su ab i c realni brojevi, a x nepoznata veličina. Za rešavanje kvadratnih jednačina jako je važno znati kako prepoznati koeficijete ab i c.

Zadatak 1: Izdvojiti koeficijete ab i c u datim kvadratnim jednačinama.

a) 3{{x}^{2}}-2x+7=0;     b) {{x}^{2}}+2x+9=0

c) 2{{x}^{2}}+x=0;     d) 3{{x}^{2}}-7=0

Rešenje:

  1. 3{{x}^{2}}-2x+7=0\Rightarrow a=3b=-2 i c=7
  2. Ovu jednačinu možemo napisati i ovako

    1{{x}^{2}}+2x+9=0\Rightarrow a=1b=2 i c=9

  3. U ovoj jednačini nemamo slobodan član c, pa smatramo da je c=0

    2{{x}^{2}}+x+0=0\Rightarrow a=2b=1 i c=0

  4. Slično kao pod c)

    3{{x}^{2}}-7=0\Rightarrow a=3b=0 i c=-7

Jednačine u kojima je b=0 ili c=0 imaju oblik

a{{x}^{2}}+bx=0 ili a{{x}^{2}}+c=0 ili a{{x}^{2}}=0

i one su nepotpune kvadratne jednačine. Njihovo rešavanje se razlikuje od rešavanja potpunih kvadratnih jednačina.

REŠAVANJE NEPOTPUNIH KVADRATNIH JEDNAČINA

Oblika{{x}^{2}}+bx=0

Rešavanje: U ovom slučaju možemo ispred zagrade izvući zajedničko x:

a{{x}^{2}}+bx=0\Rightarrow (ax+b)x=0

Zadatak 2: Reši jednačinu: 2{{x}^{2}}-3x=0

Rešenje2{{x}^{2}}-3x=0\Rightarrow (2x-3)x=0

x=0 ili 2x-3=0\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac{3}{2}

Rešenja su {{x}_{1}}=0 i {{x}_{2}}=\frac{3}{2}

Dobijamo proizvod monoma i binoma koji je jednak nuli, pa bar jedan od njih mora biti 0, odnosno:

x=0 ili

ax+b=0\Rightarrow ax=-b\Rightarrow x=-\frac{b}{a}

pa su rešenja {{x}_{1}}=0 ili {{x}_{2}}=-\frac{b}{a}

Oblika{{x}^{2}}+c=0

Rešenje: Sada imamo samo jedan nepoznati element, a to je x2:

a{{x}^{2}}+c=0\Rightarrow a{{x}^{2}}=-c\Rightarrow {{x}^{2}}=-\frac{c}{a}\Rightarrow x=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}

Opet imamo dva rešenja: {{x}_{1}}=-\sqrt{-\frac{c}{a}} i {{x}_{2}}=\sqrt{-\frac{c}{a}}

Zadatak 3: Reši jednačinu 3{{x}^{2}}-6=0

Rešenje3{{x}^{2}}-6=0\Rightarrow 3{{x}^{2}}=6\Rightarrow {{x}^{2}}=\frac{6}{3}\Rightarrow {{x}^{2}}=2\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}

Dakle, rešenja su {{x}_{1}}=-\sqrt{2} i {{x}_{2}}=\sqrt{2}.

Zadatak 4: Reši jednačinu 3{{x}^{2}}=0

Rešenje3{{x}^{2}}=0\Rightarrow {{x}^{2}}=0\Rightarrow x=0

Dakle, rešenja su {{x}_{1}}={{x}_{2}}=0.

Oblika{{x}^{2}}=0

Rešenje: Sada imamo da je proizvod a\cdot {{x}^{2}}=0 pa mora biti {{x}^{2}}=0 odnosno x=0 je jedino rešenje.

REŠAVANJE POTPUNIH KVADRATNIH JEDNAČINA

Prilikom rešavanja potpune kvadratne jednačine potrebno je najpre ispitati prirodu njenih rešenja. To radimo ispitivanjem diskriminante kvadratne jednačine. Diskriminantu računamo po formuli D={{b}^{2}}-4\cdot a\cdot c. Nakon toga ispitujemo da li je diskriminanta veća, manja ili jednaka nuli.

Ako je diskriminanta veća od 0 kvadratna jednačina ima dva realna različita rešenja, ako je jednaka nuli ima dva realna jednaka rešenja, a ako je manja od 0 jednačina ima dva konjugovano kompleksna rešenja.

To je jednostavnije opisano u sledećoj tablici:

Vrednost

diskriminante

Priroda rešenja kvadratne jednačine
D>0 Kvadratna jednačina ima dva realna različita rešenja ({{x}_{1}}\ne {{x}_{2}})
D=0 Kvadratna jednačina ima dva realna jednaka rešenja ({{x}_{1}}={{x}_{2}})
D<0 Kvadratna jednačina ima dva konjugovano kompleksna rešenja

({{x}_{1}}={{\overline{x}}_{2}})

Ovo nam omogućava da vidimo kakve su osobine rešenja kvadratne jednačine pre nego što ih pronađemo.

Zadatak 5: Ne nalazeći rešenja datih kvadratnih jednačina ispitaj njihovu prirodu:

a) 6{{x}^{2}}-x-1=0    b) {{x}^{2}}-2x+1=0    c) 2{{x}^{2}}-5x+4=0

Rešenje:

a) 6{{x}^{2}}-x-1=0\Rightarrow a=6\wedge b=-1\wedge c=-1

D={{b}^{2}}-4\cdot a\cdot c\Rightarrow D={{(-1)}^{2}}-4\cdot 6\cdot (-1)\Rightarrow D=1+24\Rightarrow D=25

Kako je D=25>0, prema tablici ova kvadratna jednačina ima dva realna različita rešenja ({{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}).

b) {{x}^{2}}+2x-1=0\Rightarrow a=1\wedge b=-2\wedge c=1

D={{b}^{2}}-4\cdot a\cdot c\Rightarrow D={{(-2)}^{2}}-4\cdot 1\cdot 1\Rightarrow D=4-4\Rightarrow D=0

Kako je D=0, prema tablici ova kvadratna jednačina ima dva realna jednaka rešenja ({{x}_{1}}={{x}_{2}}).

c) 2{{x}^{2}}-5x+4=0\Rightarrow a=2\wedge b=-5\wedge c=4

D={{b}^{2}}-4\cdot a\cdot c\Rightarrow D={{(-5)}^{2}}-4\cdot 2\cdot 4\Rightarrow D=25-32\Rightarrow D=-7

Kako je D=-7<0, prema tablici ova kvadratna jednačina ima dva konjugovano kompleksna rešenja ({{x}_{1}}={{\overline{x}}_{2}}).

Dakle, vidimo da kvadratna jednačina uvek ima dva rešenja, a ona su realna i različita, realna i jednaka ili konjugovano kompleksna. Ta rešenja tražimo pomoću formule:

{{x}_{1/2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2\cdot a}

Ovde su u jednoj formuli napisana dva rešenja: {{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2\cdot a} i {{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2\cdot a}.

Zadatak 6: Nađimo rešenja kvadratnih jednačina iz prethodog zadatka:

a) 6{{x}^{2}}-x-1=0    b) {{x}^{2}}-2x+1=0    c) 2{{x}^{2}}-5x+4=0

Rešenje:

a) Ovde smo dobili da je D=25>0pa ova kvadratna jednačina ima dva realna razliita rešenja, odnosno

{{x}_{1/2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2\cdot a}\Rightarrow {{x}_{1/2}}=\frac{-(-1)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 6}\Rightarrow {{x}_{1/2}}=\frac{1\pm 5}{12}, odnosno:

{{x}_{1}}=\frac{1+5}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} i {{x}_{2}}=\frac{1-5}{12}=\frac{-4}{12}=-\frac{1}{3} pa su rešenja {{x}_{1}}=\frac{1}{2} i {{x}_{2}}=-\frac{1}{3}

b) U ovom slučaju je D=0 pa ova kvadratna jednačina ima dva realna jednaka rešenja ({{x}_{1}}={{x}_{2}}):

{{x}_{1/2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2\cdot a}\Rightarrow {{x}_{1/2}}=\frac{-(-2)\pm \sqrt{0}}{2\cdot 1}\Rightarrow {{x}_{1/2}}=\frac{2\pm 0}{2}\Rightarrow {{x}_{1/2}}=\frac{2}{2}=1

Odnosno {{x}_{1}}={{x}_{2}}=1

c) U trećem slučaju je D=-7<0 pa, prema tablici, ova kvadratna jednačina ima dva konjugovano kompleksna rešenja ({{x}_{1}}={{\overline{x}}_{2}}):

{{x}_{1/2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2\cdot a}\Rightarrow {{x}_{1/2}}=\frac{-(-5)\pm \sqrt{-7}}{2\cdot 2}\Rightarrow {{x}_{1/2}}=\frac{5\pm i\sqrt{7}}{4}

Pa su rešenja: {{x}_{1}}=\frac{5}{4}+i\frac{\sqrt{7}}{4} i {{x}_{2}}=\frac{5}{4}-i\frac{\sqrt{7}}{4}

Koristeći ova rešenja možemo rastaviti kvadratni trinom na proizvod dva bioma po sledećoj formuli:

Ako su {{x}_{1}} i {{x}_{2}} rešenja kvadratne jednačine a{{x}^{2}}+bx+c=0, tada se kvadratni trinom a{{x}^{2}}+bx+c može napisati kao:

a{{x}^{2}}+bx+c=a\cdot (x-{{x}_{1}})\cdot (x-{{x}_{2}})

Kao primer rastavićemo polinom pod a) iz prethodnog zadatka.

Zadatak 7: Rastavi na činioce polinom 6{{x}^{2}}-x-1.

Rešenje: Ovaj polinom je kvadratni trinom pa za njega važi gore navedena formula razlaganja. Kako smo videli u prethodnom zadatku, rešenja ovog polinoma su {{x}_{1}}=\frac{1}{2} i {{x}_{2}}=-\frac{1}{3}, a vrednost a je a=6, pa prema formuli, imamo da je:

6{{x}^{2}}-x-1=6\cdot (x-\frac{1}{2})\cdot (x-(-\frac{1}{3}))=6\cdot (x-\frac{1}{2})\cdot (x+\frac{1}{3})

čime je ovaj zadatak završen.

About these ads
Categories: Srednja škola
  1. Djar
    11. September 2013. at 6:52 am | #1

    Odličan tekst, puno hvala. Baš sada ovo radimo u školi pa mi ovo pomaže. Inače koristim i dobar program za rešavanje jednačina, možete ga skinuti ovde: http://www.resavanje-jednacina.net76.net

    Pozdrav

    • 13. September 2013. at 12:03 pm | #2

      Hvala najlepše. Odličan sajt.
      Ubaciću ga u spisak edukativnih sajtova na matematikonu.

      Pozdrav.

  2. Igor
    17. November 2013. at 2:49 pm | #3

    Mislim da ovom sajtu nedostaju pravi zadaci poput kvadratnih jednacina sa parametrima u imeniocu i brojiocu

    • 27. November 2013. at 8:43 pm | #4

      Probaću da napišem i o tome nešto.
      Hvala na preporuci, Igore.

      Pozdrav.
      Bojan

  1. No trackbacks yet.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 34 other followers

%d bloggers like this: