KVADRATNE JEDNAČINE

KVADRATNE JEDNAČINE

Kvadratne jednačine imaju oblik , gde su a, b i c realni brojevi, a x nepoznata veličina. Za rešavanje kvadratnih jednačina jako je važno znati kako prepoznati koeficijete a, b i c.

Zadatak 1: Izdvojiti koeficijete a, b i c u datim kvadratnim jednačinama. a) ;     b)  c) ;     d)  Rešenje: ,  i  Ovu jednačinu možemo napisati i ovako ,  i  U ovoj jednačini nemamo slobodan član c, pa smatramo da je  ,  i  Slično kao pod c) ,  i

Jednačine u kojima je  ili  imaju oblik

 ili  ili 

i one su nepotpune kvadratne jednačine. Njihovo rešavanje se razlikuje od rešavanja potpunih kvadratnih jednačina.

REŠAVANJE NEPOTPUNIH KVADRATNIH JEDNAČINA

Oblik: 

Rešavanje: U ovom slučaju možemo ispred zagrade izvući zajedničko x:

Zadatak 2: Reši jednačinu:  Rešenje:   ili  Rešenja su  i

Dobijamo proizvod monoma i binoma koji je jednak nuli, pa bar jedan od njih mora biti 0, odnosno:

 ili

pa su rešenja  ili 

Oblik: 

Rešenje: Sada imamo samo jedan nepoznati element, a to je x²:

Opet imamo dva rešenja:  i 

Zadatak 3: Reši jednačinu  Rešenje:  Dakle, rešenja su  i .

Zadatak 4: Reši jednačinu  Rešenje:  Dakle, rešenja su .

Oblik: 

Rešenje: Sada imamo da je proizvod  pa mora biti  odnosno  je jedino rešenje.

REŠAVANJE POTPUNIH KVADRATNIH JEDNAČINA

Prilikom rešavanja potpune kvadratne jednačine potrebno je najpre ispitati prirodu njenih rešenja. To radimo ispitivanjem diskriminante kvadratne jednačine. Diskriminantu računamo po formuli . Nakon toga ispitujemo da li je diskriminanta veća, manja ili jednaka nuli.

Ako je diskriminanta veća od 0 kvadratna jednačina ima dva realna različita rešenja, ako je jednaka nuli ima dva realna jednaka rešenja, a ako je manja od 0 jednačina ima dva konjugovano kompleksna rešenja.

To je jednostavnije opisano u sledećoj tablici:

Vrednost diskriminante	Priroda rešenja kvadratne jednačine
	Kvadratna jednačina ima dva realna različita rešenja ()
	Kvadratna jednačina ima dva realna jednaka rešenja ()
	Kvadratna jednačina ima dva konjugovano kompleksna rešenja ()

Ovo nam omogućava da vidimo kakve su osobine rešenja kvadratne jednačine pre nego što ih pronađemo.

Zadatak 5: Ne nalazeći rešenja datih kvadratnih jednačina ispitaj njihovu prirodu: a)     b)     c)  Rešenje: a)  Kako je , prema tablici ova kvadratna jednačina ima dva realna različita rešenja (). b)  Kako je , prema tablici ova kvadratna jednačina ima dva realna jednaka rešenja (). c)  Kako je , prema tablici ova kvadratna jednačina ima dva konjugovano kompleksna rešenja ().

Dakle, vidimo da kvadratna jednačina uvek ima dva rešenja, a ona su realna i različita, realna i jednaka ili konjugovano kompleksna. Ta rešenja tražimo pomoću formule:

Ovde su u jednoj formuli napisana dva rešenja:  i .

Zadatak 6: Nađimo rešenja kvadratnih jednačina iz prethodog zadatka: a)     b)     c)  Rešenje: a) Ovde smo dobili da je pa ova kvadratna jednačina ima dva realna razliita rešenja, odnosno , odnosno:  i  pa su rešenja  i  b) U ovom slučaju je  pa ova kvadratna jednačina ima dva realna jednaka rešenja (): Odnosno  c) U trećem slučaju je  pa, prema tablici, ova kvadratna jednačina ima dva konjugovano kompleksna rešenja (): Pa su rešenja:  i

Koristeći ova rešenja možemo rastaviti kvadratni trinom na proizvod dva bioma po sledećoj formuli:

Ako su  i  rešenja kvadratne jednačine , tada se kvadratni trinom  može napisati kao:

Kao primer rastavićemo polinom pod a) iz prethodnog zadatka.

Zadatak 7: Rastavi na činioce polinom . Rešenje: Ovaj polinom je kvadratni trinom pa za njega važi gore navedena formula razlaganja. Kako smo videli u prethodnom zadatku, rešenja ovog polinoma su  i , a vrednost a je , pa prema formuli, imamo da je: čime je ovaj zadatak završen.

About these ads