Home > Osnovna škola, Srednja škola > Rešavanje linearnih jednačina

Rešavanje linearnih jednačina

Problem: Treba rešiti sledeću jednačinu:

\frac{3}{5}\cdot \left( 2x+3 \right)-\frac{x}{3}=3-x

Uvodni deo: Rešavanje ovakvih jednačina može biti problematično. Najčešće pomislimo: “Uh, šta sad da radim? Ovo mora da je teško!” Međutim, ne mora da bude teško.

Ovu jednačinu rešićemo tako što ćemo sistematizovati postupak za rešavanje ovakvih jednačina. Znači, napravićemo ALGORITAM za rešavanje korak po korak.

Najpre, par reči o samom pojmu jednačine. Jednačina označava jednakost izraza sa LEVE i izraza sa DESNE strane znaka “=”. Možemo je zamisliti kao vagu sa dva tasa koji su u ravnoteži. Ako dodamo nešto na levi tas vage, moramo isto to da dodamo i na desni tas da bi vaga ostala u ravnoteži. Takođe, ako oduzmemo nešto sa desnog tasa vage, isto to moramo da oduzmemo i sa levog tasa.

Sve u svemu, pravilo bi bilo: Šta radimo sa jedne strane jednakosti, isto moramo da uradimo i sa druge strane da bi jednakost ostala jednakost. Ovo je osnovno pravilo koga ćemo se držati nadalje.

Rešavanje prostih linearnih jednačina: Za početak, opisaćemo rešavanje najjednostavnijih linearnih jednačina oblika A·x=B, gde su A i B neki realni brojevi, a x nepoznata vrednost.

Cilj je da se oslobodimo broja A sa leve strane jednačine. Najpre, podelićemo levu i desnu stranu brojem A, i dobijamo:

A\cdot x=B {delimo levu i desnu stranu sa A}

\frac{A\cdot x}{A}=\frac{B}{A} {skratimo A u imeniocu i A u brojiocu sa leve strane}

x=\frac{B}{A} {broj B/A je rešenje ove jednačine J}

PRIMER 1:

5x=4 {jednačina koju treba rešiti}

\frac{5x}{5}=\frac{4}{5} {delimo sa 5 levu i desnu stranu jednačine}

x=\frac{4}{5}  {skratimo 5 u imeniocu i 5 u brojiocu sa leve strane i dobijamo rešenje}   

Koraci: Pri rešavanju linearnih jednačina držaćemo se sledećih važnih koraka:

1. korak – OSLOBODIMO SE ZAGRADA;

2. korak – OSLOBODIMO SE RAZLOMAKA (ako se posle ovog koraka opet jave zagrade, vratimo se na korak 1);

3. korak – NEPOZNATI LEVO, POZNATI DESNO;

4. korak – REŠIMO PROSTU LINEARNU JEDNAČINU ;)

Objasnimo svaki korak posebno.

1. korak – OSLOBODIMO SE ZAGRADA

U ovom koraku oslobodićemo se zagrada u jednačini (ukoliko ih uopšte ima, naravno J ). To radimo koristeći odobinu DISTRIBUTIVNOSTI.

Distributivnost:

A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C

{svaki iz zagrade množimo sa A}

Takođe, u ovom koraku može se javiti i množenje polinoma koje se, opet, svodi na distributivnost:

Množenje binoma:

(A+B)\cdot (C+D)=A\cdot C+A\cdot D+B\cdot C+B\cdot D

{svaki iz prve zagrade množimo sa svakim iz druge zagrade}

PRIMER 2:

5\cdot (x+2)= {problem koji treba rešiti: osloboditi se zagrada}

=5\cdot x+5\cdot 2= {x i 2 iz zagrade množimo sa 5}

=5x+10  {nema više zagrada J}

PRIMER 3:

(x-2)\cdot (x+4)= {problem koji treba rešiti: osloboditi se zagrada}

=x\cdot x+x\cdot 4+(-2)\cdot x+(-2)\cdot 4= {x i -2 iz prve zagrade množimo sa x i 4 iz druge}

={{x}^{2}}+4x-2x-8={{x}^{2}}+2x-8  {nema više zagrada J}

2. korak – OSLOBODIMO SE RAZLOMAKA

Posmatrajmo sledeći zadatak: \frac{x}{3}=\frac{1}{2}

Množenjem leve i desne strane nekim brojem i skraćivanjem imenioca, možemo se osloboditi razlomaka. Međutim, problem je koji je to broj?

Ako pomnožimo sa 3, skratićemo razlomak na levoj strani, ali nam ostaje onaj na desnoj. Ako, pak, množimo sa 2, skratićemo onaj na desnoj, dok nam razlomak na levoj ostaje. Dakle, treba nam broj koji može da se skrati sa oba imenioca, i 2 i 3. Najmanji takav broj je najmanji zajednjički sadržilac (NZS) brojeva 2 i 3, a to je broj 6.

Dakle, ako pomnožimo levu i desnu stranu jednačine sa 6, pokratićemo i levi i desni razlomak i izgubiti ih. J

\frac{x}{3}=\frac{1}{2} {NZS za 2 i 3 je 6}

\frac{x}{3}\cdot 6=\frac{1}{2}\cdot 6 {množimo levu i desnu stranu sa 6}

x\cdot 2=1\cdot 3 {skratimo razlomke i izgubimo imenioce}

2x=3 {dobijemo prostu linearnu jednačinu…}

x=\frac{3}{2} {… koju već znamo da rešimo ;) }

Dakle, pravilo bi bilo sledeće: Da bi se oslobodili razlomaka u jednačini, množimo je sa NZS svih imenioca u jednačini.
PRIMER 4:\frac{3x}{5}=\frac{1}{2}-\frac{2}{3}  {Imenioci su, u ovom slučaju, brojevi 5, 2 i 3, a NZS(5,2,3)=30}

30\cdot \frac{3x}{5}=30\cdot \left( \frac{1}{2}-\frac{2}{3} \right)  {množimo levu i desnu stranu jednačine sa 30}

30\cdot \frac{3x}{5}=30\cdot \frac{1}{2}-30\cdot \frac{2}{3}  {oslobodimo se novodobijenih zagrada koristeći distributivnost}

6\cdot 3x=15\cdot 1-10\cdot 2  {sredimo levu i desnu stranu}

18x=15-20  {oduzmemo brojeve sa desne strane}

18x=-5  {rešimo prostu linearnu jednačinu}

x=-\frac{5}{18}    {Kraj ;) }

NAPOMENA: Moguće je da se nakon ovog koraka opet pojave zagrade. U tom slučaju se opet vraćamo na korak 1.

3. korak – НЕПОЗНАТИ ЛЕВО, ПОЗНАТИ ДЕСНО

U ovom koraku cilj nam je da se svi nepoznati budu na levoj, a svi poznati na desnoj strani.

NAPOMENA: Setimo se da više nemamo ni zagrade ni razlomke što nam poprilično olakšava posao.

Znak svakog elementa u jednačini vezaće se za taj element tako da gde god da pomerimo element, znak ide sa njim. To znači da je 2×-3 isto što i -3+2x jer je ispred elementa 2x znak +, e ispred elementa 3 znak -.

Kako svi nepoznati moraju da budu na levoj strani prebacićemo sve elementi koji sadrže nepoznatu na levu stranu, a sve poznate na desnu. Naravno, one koji su već na svojoj strani nećemo da premeštamo.

Najvažnije pravilo u ovom koraku je: Kad menja stranu, menja i znak.

PRIMER 5:\underline{3x}+4=18\underline{-2x} {elementi koji sadrže nepoznate su 3x i -2x (podvučeni), pa njih moramo da prebacimo na levu stranu jednačine}

3x\underline{+4}=\underline{18}-2x {elementi koji su poznati su brojevi 4 i 18 (podvučeni) pa njih prebacujemo na desnu stranu jednačine}

3x+4=18\underleftarrow{-2x} {kako je 3x već sa leve strane njega ne diramo, ali je -2x sa desne strane, i njega prebacujemo na levu i pritom menjamo znak pa od -2x dobijamo +2x}

3x\underrightarrow{+4}+2x=18 {18 je poznat broj i već se nalazi na desnoj strani pa njega ne diramo, ali je 4 poznat broj i na levoj je strani pa ga prebacujemo na desnu i menjamo mu znak i on postaje -4}

3x+2x=18-4 {sada su svi nepoznati levo, a svi poznati desno pa možemo da sredimo obe strane}

5x=14 {opet smo dobili prostu jednačinu koju znamo da rešimo}

x=\frac{14}{5} {Kraj J}

4. korak – REŠIMO PROSTU LINEARNU JEDNAČINU

Ovaj korak smo već objasnili pa nema potrebe da se zadržavamo kod njega. J

Primena koraka: Sada ćemo primeniti ova četiri koraka na jednačinu s početka izlaganja:

1. korak – OSLOBODIMO SE ZAGRADA\frac{3}{5}\cdot \left( 2x+3 \right)-\frac{x}{3}=3-x {oslobodimo se zagrade na levoj strani}

\frac{3}{5}\cdot 2x+\frac{3}{5}\cdot 3-\frac{x}{3}=3-x {sređivanjem dobijamo jednačinu bez zagrada}

2. korak – OSLOBODIMO SE RAZLOMAKA

\frac{6x}{5}+\frac{9}{5}-\frac{x}{3}=3-x {NZS(5,3)=15 pa jednačinu množimo sa 15}

15\cdot \left( \frac{6x}{5}+\frac{9}{5}-\frac{x}{3} \right)=15\cdot \left( 3-x \right) {primenimo distributivnost}

15\cdot \frac{6x}{5}+15\cdot \frac{9}{5}-15\cdot \frac{x}{3}=15\cdot 3-15\cdot x {skratimo razlomke}

3\cdot 6x+3\cdot 9-5\cdot x=45-15x

18x+27-5x=45-15x {sređivanjem dobijamo jednačinu bez zagrada i razlomaka}

3. korak – NEPOZNATI LEVO, POZNATI DESNO

\underline{18x}+27\underline{-5x}=45\underline{-15x} {elementi koji sadrže nepoznatu su podvučeni, a ostali su poznati}

18x-5x+15x=45-27 {prebacili smo -15x na levu, a 27 na desnu stranu i pri tome im promenili znak}

28x=18 {dobili smo prostu linearnu jednačinu}

4. korak – REŠIMO PROSTU LINEARNU JEDNAČINU

x=\frac{18}{28} {rešimo prostu linearni jednačinu i skratimo razlomak sa desne strane}

x=\frac{9}{14} {i evo rešenja J}

Na žalost, ovaj postupak ne može da reši baš svaku jednačinu, ali će vam sigurno pomoći kod onih koje se najčešće javljaju. Cilj cele ove priče je da, kada dobijete zadatak da rešite neku linearnu jednačinu, ne gubite vreme razmišljajući: “Šta sada da radim?”, već da odmah krenete u rešavanje, korak po korak.

Nadam se da će vam pomoći .

Srećno! J

About these ads
  1. 30. October 2011. at 10:16 pm

    Fino,
    kad nastavnika zakasni sa pripremom za čas evo gotovog rešenja. Odličan primer korišćenje blogova u nastavi.

  2. 30. October 2011. at 11:34 pm

    Hvala. :)

  3. 31. October 2011. at 9:56 am

    Odlično. Nisam baš načisto ko je ciljna grupa, đaci ili kolege profesori, verovatno i jedni i drugi? Za đake bi možda bio zanimljiv post koji bi dao “motivaciju”, neke “realne” probleme koji se svode na linearne jednačine, npr. danešto kao Mića je kupio 5 kg jabuka za 15 dinara…

    • 2. December 2011. at 11:05 pm

      Hvala Bane. Odlična ideja. Potrudiću se da ubacim i tako nešto.

  4. dajana
    9. March 2012. at 4:53 pm

    odlicno samo da se po jos nesto ubaci inace je ok :D

    • 28. May 2012. at 10:34 pm

      Hvala najlepše. :)
      Potrudiću se u toku leta da još obogatim tekstove primerima.

  5. 8. April 2012. at 12:34 pm

    dali mi neko moze uraditi ovaj zadatak

  6. 8. April 2012. at 12:36 pm

    x x
    – + – + 20 = x
    3 2

    • 9. April 2012. at 9:50 am

      Kako nema zagrada preskačemo korak 1 i idemo na korak 2 – oslobađanje od razlomaka.
      Razlomaka se oslobađamo tako što jednačinu množimo sa NZS(3,2), odnosno sa 6.
      Skraćivanjem dobijamo
      2x+3x+120=6x,
      odnosno
      5x+120=6x
      Sada više nemamo ni zagrade ni razlomke, pa idemo na korak 3.
      Prebacivanjem nepoznatih na jednu, a poznatih na drugu stranu znaka jednakosti, dobijamo:
      6x-5x=120
      odnosno
      x=120
      i to je to. :)

  7. nemanja
    15. June 2012. at 1:55 pm

    pa nema sa nepoznatom u imeniocu

    • 10. October 2012. at 3:55 am

      Jednačine sa nepoznatom u imeniocu već ne spadaju u linearne, već u racionalne jednačine.
      Probaću i tu da smislim neki algoritam. Hvala za ideju. :)

  8. Stevan
    23. June 2012. at 11:09 am

    E legendo sta se redi kada je zadatak tipa da su u zagrade uspravne

    • 10. October 2012. at 3:57 am

      Verovatno misliš na apsolutnu vrednost.
      To je već za nijansu složenije jer jednačina mora da se razbije na dva slučaja: kada je izraz pod apsolutnom vrednošću veći i kada je manji od nule.

  9. Tamara
    16. October 2012. at 5:22 pm

    Mozete li da mi resite ovu linearnu jednacinu: 3x+2 2x+1 x
    ——- – —— = — – 1
    8 5 20
    molim vas hitno jee

    • 16. October 2012. at 6:34 pm

      Naravno. Probaćemo pomoću ova četiri koraka.
      1. korak – Kako jednačina nema zagrade ovaj korak preskačemo.
      2. korak – Oslobađamo se razlomaka množenjem celog izraza sa NZS(8,5,20)=40.
      40\cdot \frac{(3x+2)}{8}-40\cdot \frac{(2x+1)}{5}=40\cdot \frac{x}{20}-40\cdot 1
      Skraćivanjem dobijamo:
      5\cdot (3x+2)-8\cdot (2x+1)=2\cdot x-40
      Primerićete da su nam se javile zagrade. To je zbog znaka + u brojiocu prva dva razlomka. Zbog ovoga moramo da se vratimo na prethodni korak.
      1. korak (drugi put :) ) – Oslobađanjem od zagrada dobijamo:
      5\cdot 3x+5\cdot 2-8\cdot 2x-8\cdot 1=2x-40
      odnosno
      15x+10-16x-8=2x-40
      Zagrada više nema, a ni razlomaka pa idemo na treći korak.
      3. korak – Nepoznati levo, poznati desno (ne zaboravite pravilo – kad menja stranu, menja i znak):
      15x-16x-2x=-40-10+8
      odakle sređivanjem imamo:
      -3x=-42
      Ovo je prosta linearna jednačina pa je rešavamo lako u sledećem koraku.
      4. korak – Rešavanje proste linearne jednačine:
      x=\frac{-42}{-3}
      odnosno
      x=14

      Dakle, rešenje je x = 14. :)

      Nadam se da je od koristi.
      Pozdrav

  10. Maja
    23. October 2012. at 4:32 pm

    Moze resenje nejednacine x
    – – < -2
    3

    • 23. October 2012. at 6:53 pm

      Naravno. :)
      Ovde je u pitanju NEjednačina, ali videćemo da i ovde možemo da primenimo četiri koraka.
      1. korak – Zagrada nema pa idemo odmah na drugi korak.
      2. korak – Razlomka se oslobađamo množenjem cele nejednajčine brojem 3. Kako je 3>0 znak < u nejednačini ostaje isti.
      -\frac{x}{3}<-2
      -3\cdot \frac{x}{3}<-3\cdot 2
      -x<-6
      3. korak – Svi nepoznati su levo, a svi poznati desno pa i ovde možemo odmah da pređemo na sledeći korak.
      4. korak – Poslednju nejednačinu rešićemo množenjem leve i desne strane sa -1. Ovde treba biti pažljiv jer množenje nejednačine negativnim brojem MENJA ZNAK iz .
      -x-\left( -6 \right)
      x>6
      Dakle, rešenje je skup svih realnih brojeva koji su manji od 6, odnosno
      x\in \left( -\infty ,6 \right)

      Pozdrav

  11. Nikolaa
    28. October 2012. at 4:52 pm

    Evo jel mozete da mi resite ovu jednacinu 1-1/2(3x+2(x/2-3)-1/3(2×-1))=x/4

    • 28. October 2012. at 8:28 pm

      Naravno. Nema problema. Dakle, ako sam dobro razumeo, jednačina izgleda ovako:
      1-\frac{1}{2}\left( 3x+2\left( \frac{x}{2}-3 \right)-\frac{1}{3}\left( 2x-1 \right) \right)=\frac{x}{4}
      Najpre se oslobodimo zagrada. Počećemo od unutrašnjih:
      1-\frac{1}{2}\left( 3x+2\cdot \frac{x}{2}-2\cdot 3-\frac{1}{3}\cdot 2x+\frac{1}{3}\cdot 1 \right)=\frac{x}{4}
      Obrati pažnju da nam se znakovi u drugoj unutrašnjoj zagradi menjaju jer je ispred zagrade minus.
      1-\frac{1}{2}\left( 3x+x-6-\frac{2x}{3}+\frac{1}{3} \right)=\frac{x}{4}
      Sada možemo da se oslobodimo i spoljašnje zagrade
      1-\frac{1}{2}\cdot 3x-\frac{1}{2}\cdot x+\frac{1}{2}\cdot 6+\frac{1}{2}\cdot \frac{2x}{3}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{x}{4}
      Ovde takođe menjamo znakove u zagradi jer je ispred nje minus.
      1-\frac{3x}{2}-\frac{x}{2}+3+\frac{x}{3}-\frac{1}{6}=\frac{x}{4}
      Nemamo višre zagrada pa se u sledećem koraku oslobađamo razlomaka množeći celu jednačinu sa NZS(2,2,3,6,4)=12.
      12\cdot \left( 1-\frac{3x}{2}-\frac{x}{2}+3+\frac{x}{3}-\frac{1}{6} \right)=12\cdot \frac{x}{4}
      Odakle dobijamo:
      12\cdot 1-12\cdot \frac{3x}{2}-12\cdot \frac{x}{2}+12\cdot 3+12\cdot \frac{x}{3}-12\cdot \frac{1}{6}=12\cdot \frac{x}{4}
      Skraćivanjem gubimo sve razlomke:
      12-6\cdot 3x-6\cdot x+36+4\cdot x-2=3\cdot x
      Odnosno:
      12-18x-6x+36+4x-2=3x
      Sada kada više nemamo ni zagrade ni razlomke, idemo na sledeći korak: nepoznati levo, poznati desno:
      -18x-6x+4x-3x=-12-36+2
      Odnosno
      -23x=-46
      Dakle, dobili smo prostu linearnu jednačinu čije je rešenje:
      x=\frac{-46}{-23}=2
      Rešenje je x = 2. ;)
      Pozdrav

  12. Erhan
    14. February 2013. at 10:39 pm

    zbir 3 uzastopna cijela broja je 87. Koji su to brojevi? Molim vas resenje i ako je moguce objasnjenje :D

    • 15. February 2013. at 12:05 am

      Naravno.
      Pretpostavimo da je x prvi od traženih brojeva.
      Kako su u pitanju uzastopni celi brojevi sledeći broj mora biti x+1, a treći je x+2.
      Kako znamo da je zbir ta tri broja 87 važi da je:
      (x)+(x+1)+(x+2)=87
      odnosno
      x+x+1+x+2=87
      odakle dobijamo
      3x+3=87
      Odavde je
      3x=87-3
      3x=84
      pa je
      x=84/3
      odnosno
      x=28

      Da se podsetimo: x=28 je prvi od tri tražena uzastopna broja, što znači da su ostali traženi brojevi 29 i 30.

      I zaista, važi
      28+29+30=87

      Nadam se da je pomoglo.
      Pozdrav.
      Bojan

  13. 27. February 2013. at 2:52 pm

    mozete li da mi rijesite ovaj zadatak: Duzine osnovnih ivica kvadra se odnose kao 12:5. izracunaj povrsinu kvadra visine 1m,ako povrsina njegovog dijagonalnog presjeka iznosi 16 900 centimetara kvadratnih.. unapred zahvalna,

    • 5. March 2013. at 12:58 am

      Naravno.
      Da bismo izračunali površinu, potrebno je da nađemo stranice kvadra. Označimo stranice na osnovi sa a i b, a bočnu stranicu (visinu) sa c.
      Svaki od podataka iz zadatka daje nam vezu između nepoznatih dužina stranica a, b i c.
      Najpre, c nam je već dato jer je c=1m=100cm.
      Takođe, znamo da se osnovne ivice (a i b) odnose kao 12:5, odnosno a:b=12:5.
      Ovo je proporcija, a znamo da je u proporciji proizvod spoljašnjih jednak proizvodu unutrašnjih članova, odnosno 5a=12b, odakle dobijamo da je a=12b/5. Dakle, dobili smo jednu vezu između stranica a i b, ali nam je potrebna još jedna.
      Iz postavke zadatka znamo da je površina dijagonalnog preseka 16900 cm^2 (oznaku ^2 koristimo da označimo “na kvadrat”). Dijagonalni presek je pravougaonik čija je jedna stranica dijagonala osnove (označimo je sa d), a druga je visina c=100cm.
      Dakle važi: d*c=16900, odnosno d*100=16900, pa je d=16900/100 odakle dobijamo da je d=169cm.
      Znamo da je d dijagonala pravougaonika koji je u osnovi našeg kvadra i čije su stranice a i b. Dijagonalu d možemo izračunati koristeći Pitagorinu teoremu, odnosno a^2+b^2=d^2. Kako d imamo dobijamo a^2+b^2=169^2 što nam je druga veza između nepoznatih stranica a i b.
      Kako smo ranije pokazali da je a=12b/5, ovde možemo a zameniti sa 12b/5, odakle dobijamo (12b/5)^2+b^2=169^2, što je jednačina sa jednom nepoznatom b. Rešimo ovu jednačinu:
      (12b/5)^2+b^2=169^2
      144*b^2/25+b^2=169^2
      144*b^2/25+25*b^2/25=169^2
      169*b^2/25=169^2
      b^2=169*25
      b=13*5
      b=65cm
      Dakle, izračunali smo da je b=65cm, sada nađimo a:
      a=12*b/5
      a=12*65/5
      a=12*13
      a=156cm^2
      Sada imamo sve stranice kvadra pa možemo izračunati njegovu površinu:
      P=2*(a*b+a*c+b*c)
      P=2*(65*156+65*100+156*100)
      P=2*(10140+6500+15600)
      P=2*32240
      P=64480cm^2
      i to bi trebalo da bude tražena površina. :)
      Pozdrav
      Bojan

  14. 10. March 2013. at 11:28 am

    Osnova prave piramide je romb cije dijagonale imaju duzine d1=10cm i d2=24cm.Izracunaj povrsinu piramide,ako je njena visina H=2cm…hitno mi je potrban ovaj zadatak.

    • 10. March 2013. at 12:22 pm

      Probaćemo da rešimo i ovaj zadatak ;) .
      Površinu piramide čine osnova (B) i omotač (M).
      U osnovi je romb, a površina romba je polovina proizvoda dijagonala, odnosno:
      B=\frac{{{d}_{1}}\cdot {{d}_{2}}}{2}
      B=\frac{10\cdot 24}{2}
      B=\frac{240}{2}
      B=120c{{m}^{2}}
      Površinu omotača M čine četiri podudarna trougla čija je osnovica a, a visina (apotema) ha, pa je:
      M=4\cdot \frac{a\cdot {{h}_{a}}}{2}
      M=2\cdot a\cdot {{h}_{a}}
      Međutim, ovde nam fali apotema pa ćemo morati da je izračunamo.
      Najpre treba naći osnovicu a. Nju tražimo koristeći činjenicu da se dijagonale romba seku pod pravim uglom pa njihove polovina sa osnovicom čine pravougli trougao. Iz Pitagorine teoreme dobijamo:
      {{a}^{2}}={{\left( \frac{{{d}_{1}}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{d}_{2}}}{2} \right)}^{2}}
      {{a}^{2}}={{\left( \frac{10}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{24}{2} \right)}^{2}}
      {{a}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}
      {{a}^{2}}=25+144
      {{a}^{2}}=169
      a=\sqrt{169}
      a=13

      Sada kada imamo osnovicu iskoristićemo to da polovina osnovice, apotema i visina piramide čina pravougli trougao.
      Dakle, dobijamo:
      {{h}_{a}}^{2}={{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{H}^{2}}
      {{h}_{a}}^{2}={{\left( \frac{10}{2} \right)}^{2}}+{{2}^{2}}
      {{h}_{a}}^{2}={{\left( \frac{13}{2} \right)}^{2}}+{{2}^{2}}
      {{h}_{a}}^{2}=\frac{169}{4}+4
      {{h}_{a}}^{2}=\frac{169}{4}+\frac{16}{4}
      {{h}_{a}}^{2}=\frac{185}{4}
      {{h}_{a}}=\sqrt{\frac{185}{4}}
      {{h}_{a}}=\frac{\sqrt{185}}{2}
      Sada kada imamo apotemu, možemo da nađemo površinu omotača:
      M=2\cdot a\cdot {{h}_{a}}
      M=2\cdot 13\cdot \frac{\sqrt{185}}{2}
      M=13\sqrt{185}
      Vratimo se na površinu cele piramide:
      P=B+M
      P=\left( 120+13\sqrt{185} \right)c{{m}^{2}}
      I to je tražena površina. :)

  15. 10. March 2013. at 3:52 pm

    moze li jos ovaj ako nije problem…Osnova prave piramide je trougao cije dvije stranice imaju duzine a=8,5m i b=5m.Duzina visine tog trougla koja odgovara trecoj stranici iznosi 4m.Izracunaj povrsinu piramide,ako njena visina ima duzinu H=sedam trecina metara.

  16. sanja
    16. March 2013. at 9:00 am

    molim vas da mi što prije riješite jednačine koje sam vam prije poslala hitno mi je treba mi za danas
    sa poštovanjem i uvažavanjem
    lagator sanja

    • 16. March 2013. at 1:27 pm

      Izvinjavamse. Na seminaru sam i jedva ugrabih priliku da rešim neke od zadataka.
      Na žalost, opvde nemaju potrebne programe da Vam napišem zadatke u nekoj čirljivijoj formi :(.

      • 16. March 2013. at 10:13 pm

        Evo rešenja. Izvinjavam se zbog kašnjenja, ali mnogo je bilo obaveza ovih dana.
        {{(12x+1)}^{2}}+{{(5x-3)}^{2}}={{(13x+2)}^{2}}-52
        {{(12x)}^{2}}+2\cdot 12x\cdot 1+{{1}^{2}}+{{(5x)}^{2}}-2\cdot 5x\cdot 3+{{3}^{2}}={{(13x)}^{2}}+2\cdot 13x\cdot 2+{{2}^{2}}-52
        144{{x}^{2}}+24x+1+25{{x}^{2}}-30x+9=169{{x}^{2}}+58x+4-52
        169{{x}^{2}}-6x+10-169{{x}^{2}}-58x=-48
        -52x=-52
        x=\frac{-52}{-52}
        x=1

        {{(2x-5)}^{2}}=4{{x}^{2}}-10x-5
        {{(2x)}^{2}}-2\cdot 2x\cdot 5+{{5}^{2}}-4{{x}^{2}}+10x=-5
        4{{x}^{2}}-20x+25-4{{x}^{2}}+10x=-5
        -10x=-5-25
        -10x=-30
        x=\frac{-30}{-10}
        x=3

        {{(x+3)}^{2}}+8={{(x-1)}^{2}}+2(5x+1)
        {{x}^{2}}+2\cdot x\cdot 3+{{3}^{2}}+8={{x}^{2}}-2\cdot x\cdot 1+{{1}^{2}}+2\cdot 5x+2\cdot 1
        {{x}^{2}}+6x+9+8={{x}^{2}}-2x+1+10x+2
        {{x}^{2}}+6x-{{x}^{2}}+17=8x+3
        6x-8x=3-17
        -2x=-14
        x=\frac{-14}{-2}
        x=7

        Pozdrav

  17. kamijoni
    16. March 2013. at 8:20 pm

    mozete li da mi resite ovu jednacinu unapred hvala x-3,5=2/3

    • 16. March 2013. at 10:26 pm

      Naravno. Najpre sve brojeve prevedemo iz decimalnog zapisa u razlomak.
      x-3,5=\frac{2}{3}
      x-\frac{35}{10}=\frac{2}{3} (Skratimo razlomak 35/10)
      x-\frac{7}{2}=\frac{2}{3} (Množimo sa 6 kako bi se oslobodili razlomka)
      6\cdot x-6\cdot \frac{7}{2}=6\cdot \frac{2}{3} (Skraćivanjem dobijamo)
      6x-21=4 (Prebacimo nepoznate desno)
      6x=4+21
      6x=25
      x=\frac{25}{6}

      Pozdrav

      • kamijoni
        17. March 2013. at 12:29 pm

        hvala puno

  18. sanja
    17. March 2013. at 11:56 am

    Pozdarv Bojane !

    Hvala na pomoći kod rješavanja linearnih jednačina. Bili ste upravu , pogrešno sam postavila četvrtu jednačinu pa vam sad šaljem ispravku iste .

    3(y-1)² + (y+2)² = (y + 1)² + (y-3)² -35

    Sanja Lagator

    • 18. March 2013. at 7:24 pm

      Nema na čemu. Nadam se da će pomoći.
      Evo još jednog rešenja.
      3{{(y-1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}={{(y+1)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}-35
      3({{y}^{2}}-2\cdot y\cdot 1+{{1}^{2}})+({{y}^{2}}+2\cdot y\cdot 2+{{2}^{2}})=({{y}^{2}}+2\cdot y\cdot 1+{{1}^{2}})+({{y}^{2}}-2\cdot y\cdot 3+{{3}^{2}})-35
      3({{y}^{2}}-2y+1)+({{y}^{2}}+4y+4)=({{y}^{2}}+2y+1)+({{y}^{2}}-6y+9)-35
      3{{y}^{2}}-6y+3+{{y}^{2}}+4y+4={{y}^{2}}+2y+1+{{y}^{2}}-6y+9-35
      4{{y}^{2}}-2y+7=2{{y}^{2}}-4y+9-34
      4{{y}^{2}}-2y-2{{y}^{2}}+4y=9-34-7
      2{{y}^{2}}+2y=-25-7
      2{{y}^{2}}+2y=-32
      2{{y}^{2}}+2y+32=0
      Ovde se dobija kvadratna jednačina za koju najpre računamo diskriminantu:
      D={{2}^{2}}-4\cdot 2\cdot 32
      D=4-256
      D=-252<0
      Kako je diskriminanta manja od nule, ova jednačina nema realna rešenja.
      Pozdrav.
      Bojan

  19. sanja
    17. March 2013. at 11:58 am

    Molim Vas da mi riješite jošjednu :
    2(2x+1)² + 3(x+½)= (3×-5)² -x²-1

    • 18. March 2013. at 7:24 pm

      Naravno. Evo rešenja:

      2{{(2x+1)}^{2}}+3\left( x+\frac{1}{2} \right)={{(3x-5)}^{2}}-{{x}^{2}}-1
      2[{{(2x)}^{2}}+2\cdot 2x\cdot 1+{{1}^{2}}]+3\cdot x+3\cdot \frac{1}{2}=[{{(3x)}^{2}}-2\cdot 3x\cdot 5+{{5}^{2}}]-{{x}^{2}}-1
      2(4{{x}^{2}}+4x+1)+3x+\frac{3}{2}=(9{{x}^{2}}-30x+25)-{{x}^{2}}-1
      2\cdot 4{{x}^{2}}+2\cdot 4x+2\cdot 1+3x+\frac{3}{2}=9{{x}^{2}}-30x+25-{{x}^{2}}-1
      8{{x}^{2}}+8x+2+3x+\frac{3}{2}=8{{x}^{2}}-30x+24
      8{{x}^{2}}-8{{x}^{2}}+8x+30x+3x=24-2-\frac{3}{2}
      38x+3x=22-\frac{3}{2}
      41x=22-\frac{3}{2} (Množimo sa 2 da se oslobodimo razlomka)
      2\cdot 41x=2\cdot 22-2\cdot \frac{3}{2}
      82x=44-3
      82x=41
      x=\frac{41}{82}
      x=\frac{1}{2}

      Pozdrav.
      Bojan

  20. sanja
    18. March 2013. at 2:18 pm

    Molim Vas da mi riješiti što prije jednačine jer mi trebaju za danas,suta ih moram imati u skoli
    Unaprijed hvala,računam na Vas,
    Sanja Lagator

  21. sanja
    18. March 2013. at 8:45 pm

    Bojane
    Puno hvala,vaše objašnjenje mi je puno pomoglo,
    Sanj aLagator

    • 23. March 2013. at 11:48 pm

      Nema na čemu. Drago mi je da Vam je objašnjenje pomoglo.
      To je, u suštini, i cilj mog rada, pa su ovakve poruke moja najveća nagrada.
      Srdačan pozdrav.
      Bojan

  22. sanja
    27. March 2013. at 2:20 pm

    Dat je trougao ABC .Konstruiši trougao A1 B1 i C1 simetričan uglu ABC u odnosu simetrije p koja siječe dvije stranice trougla .
    Unaprijed zahvalna Maja Lagator , moja sestra .

    • 1. April 2013. at 2:29 am

      Na žalost, ovaj zadatak spada u oblast geometrije, pa je malo teže rešiti ga ovako onlajn.
      Probao sam da napravin program u Geogebri koji bi to lepše objasnio, ali je WordPress još uvek ne podržava (bar ne u .com varijanti). :(

  23. MiljanaR
    9. April 2013. at 5:34 pm

    x 1
    – / – = 1 .. ? objasnite kak se ovo radi..unaped hvala
    2 3

    • 9. April 2013. at 7:00 pm

      Ako sam dobro razumeo, u pitanju je sledeća jednačina:
      \frac{x}{2}:\frac{1}{3}=1
      Setimo se, najpre, da rezlomke delimo tako što deljenik množimo recipročnom vrednošću delioca:
      \frac{x}{2}\cdot \frac{3}{1}=1
      Razlomke množimo tako što pomnožimo imenioc imeniocem, a brojilac brojiocem:
      \frac{3x}{2}=1
      Množenjem sa 2 oslobađamo se razlomka:
      2\cdot \frac{3x}{2}=2\cdot 1
      3x=2
      Ovo je prosta linearna jednačina čije je rešenje:
      x=\frac{2}{3}

  24. sanja
    11. April 2013. at 2:02 pm

    Cao Bojane moze li mi molim te rijesiti jedan zadatak STO PRIJE ,glasi ovako :
    U kojem odnosu djele kruznicu krajnje tacke luka (AB),ako tom luku odgovara periferijski ugao cija je velicina :
    a) 60 stepeni
    b) 120 stepeni
    c) 96 stepeni
    riješenja u knjizi su data ,ali meni i dalje nije jasno kako:
    a)1:5
    b)1:2
    c)4:11
    ako ne mozes da ga uradis ili da ga nacrtas makar mi objasni princip rada ili crtanja.
    Unaprijed zahvalana
    Sanja

    • 11. April 2013. at 9:57 pm

      Može, naravno.
      Doduše, konkretno u ovom zadatku uočavam grešku u rešenju ili u samoj postavci zadatka. Naime, ako u zadatku stoji “periferijski ugao”, rešenje pod a) bi trebalo da bude 1:2, a ne 1:5. Sa druge strane, ako bi u zadatku pisalo “centralni ugao”, rešenje je zaista 1:5.

      Prva situacija je složenija. Pretpostavimo da je greška u rešenju, odnosno da je tekst zadatka tačan i da je dat periferijski ugao. Pogledajte sliku:
      Lukovi periferijski
      Ugao nacrtan isprekidanim linijama je ugao od 60 stepeni iz zadatka (dakle, periferijski ugao). On odgovara crvenom kružnom luku.
      Prema osobini perifernog i centralnog ugla nad istim kružnim lukom, centralni ugao nad istim (crvenim) kružnim lukom je dva puta veći od periferijskog, pa on ima 2×60=120 stepeni.
      Kako pun ugao ima 360 stepeni, centralni ugao nad zelenim kružnim lukom ima 240 stepeni.
      Ono što je važno u ovom zadatku jeste da su crveni i zeleni kružni lukovi sa slike u istom odnosu kao i njihovi centralni uglovi, dakle 120:240, odakle skraćivanjem sa 120 dobijamo 1:2. (Ovo je rešenje zadatka ako je periferijski ugao 60 stepeni.)

      Druga varijanta je jednostavnija. Pretpostavimo sada da je postavka zadatka pogrešna i da umesto “periferijski ugao” treba da piše “centralni ugao”. Pogledajte sliku:
      Odnos lukova
      Dati ugao od 60 stepeni odgovara crvenom kružnom luku. Zelenom kružnom luku odgovara, dakle, ugao od 300 stepeni (jer zajedno daju pun ugao od 360 stepeni).
      Opet ćemo iskoristiti osobinu da se dužine kružnih lukova odnose kao i mere njihovih uglova, pa će odnos crvenog i zelenog kružnog luka biti 60:300, odakle skraćivanjem sa 60 dobijamo odnos 1:5. (Ovo rešenje odgovara rešenju datom u knjizi.)

      Na isti naččin se rade i zadaci pod b) i c).
      b) Uglovi su 120 stepeni i 240 stepeni, pa je odnos odgovarajućih kružnih lukova 120:240, odakle se skraćivanjem sa 120 dobija 1:2.
      c) Uglovi su 96 stepena i 264 stepeni, pa je odnos njihovih kružnih lukova 96:264, odakle se skraćivanjem sa 24 dobija 4:11.

      Pretpostavljam da je greška u postavci zadatka i da bi trebalo da piše “centralni ugao” umesto “periferijski ugao”, ali proverite za svaki slučaj, sa nastavnikom/profesorom.

      Nadam se da nisam bio previše dosadan. :D
      Pozdrav
      Bojan

  25. 7. May 2013. at 6:59 pm

    Možete li mi pomoci ovu jednačinu.U vrtu su zečevi i kokoši,djecak je izbrojao 126 nogu i 25 kokošji glava.koliko je zečeva tada bilo u vrtu??? Molim vas pomozite mi rješiti ako ne uspijem riješiti dobit ću 1 :(

    • 7. May 2013. at 9:37 pm

      Nema problema. :)
      Označimo broj zečeva sa x.
      Dečak je izbrojao 26 kokošijih glava što znači da u vrtu ima 26 kokošaka.
      Svaka kokoška ima dve noge što je ukupno 26 kokošaka puta po 2 noge = 26*2 = 52 noge.
      Rekli smo da u vrtu ima x zečeva.
      Svaki zec ima 4 noge što je ukupno x zečeva sa po 4 noge = 4x nogu.
      Ukupan broj nogu životinja u vrtu je 126 od čega su 52 kokošije, a 4x zečije, dakle
      52+4x=126 (prebacimo 52 na desnu stranu jednakosti pa, kako menja stranu, menja i znak i postaje -52)
      4x=126-52 (..a to je..)
      4x=84 (..odakle imamo da je..)
      x=84:4 (..odnosno..)
      x=21
      Dakle, u vrtu je tada bio 21 zec.
      Pozdrav. ;)

  26. 27. May 2013. at 7:27 pm

    kako da izracunam X odavde … x^3 – 6* x^2 + 12*x = 8

    • 28. May 2013. at 10:09 pm

      Treba rešiti jednačinu:
      {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+12x=8
      Ovde imamo jednačinu terćeg stepena (kubnu jednačinu) za koju postoji formula za rešavanje, ali je jako složena pa često ovakve jednačine rešavamo razlaganjem kubnog polinoma.
      Konkretno ovaj primer možemo da rešimo na dva načina.
      Prvi način:
      Najpre prebacimo sve članove na levu stranu (pazeći pritom koji od njih menjaju znak). U našem slučaju osmica sa desne strane prelazi na levu i menja znak te postaje -8, pa dobijamo:
      {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+12x-8=0
      Setimo se formule za razlaganje kuba binoma (konkretno kuba razlike):
      {{(a-b)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}
      Pokušajmo da razložimo našu jednačinu da “liči” na desnu stranu formule:
      {{x}^{3}}-3\cdot {{x}^{2}}\cdot 2+3\cdot x\cdot {{2}^{2}}-{{2}^{3}}=0
      Dakle, imamo da je a=x, a b=2, pa se leva strana jednačine može razložiti kao:
      {{x}^{3}}-3\cdot {{x}^{2}}\cdot 2+3\cdot x\cdot {{2}^{2}}-{{2}^{3}}={{(x-2)}^{3}}
      Sada naša jednačina ima oblik:
      {{(x-2)}^{3}}=0
      Jedini broj koji na kub daje 0 je sama 0, pa mora da je:
      x-2=0
      odakle dobijamo rešenje
      x=2

      Drugi načina:
      Drugi način je malo složeniji, ali može da se primeni na neke jendačine koje ne mogu da se razlože pomoću formule za kub binoma.
      Ovaj postupak zahteva malo vežbanja kako bi se lakše uočili neki koraci (i malo sreće  ).
      Prvo, kao i u prethodnom slučaju, prebacimo sve članove na levu stranu:
      {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+12x-8=0
      E, sada ide neobičan deo. Najpre ćemo -6{{x}^{2}} da napišemo kao -2{{x}^{2}}-4{{x}^{2}} i dobijamo:
      {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-4{{x}^{2}}+12x-8=0
      Ako iz prva dva člana izvučemo {{x}^{2}} kao zajedničko ispred zagrade, ostaje nam:
      {{x}^{2}}(x-2)-4{{x}^{2}}+12x-8=0
      Sada hoćemo isto da uradimo i sa druga dva člana, ali da nam u zagradi opet ostane x-2. Da bismo to mogli da uradimo moramo 12x da napišemo kao 8x+4x, pa dobijamo:
      {{x}^{2}}(x-2)-4{{x}^{2}}+8x+4x-8=0
      Sada iz druga dva člana možemo da izvučemo -4 i dobijamo:
      {{x}^{2}}(x-2)-4x(x-2)+4x-8=0
      Na kraju nam ostaje 4x-8 gde kao zajedničko možemo da izvučemo 4, pa dobijamo:
      {{x}^{2}}(x-2)-4x(x-2)+4(x-2)=0
      Sada kao zajednički element možemo ispred zagrade da izvučemo (x-2), pa imamo:
      (x-2)({{x}^{2}}-4x+4)=0
      U zagradi nam ostaje kvadratni polinom koji možemo razložiti pomoću formula, ali možemo ponoviti prethodni postupak:
      {{x}^{2}}-4x+4={{x}^{2}}-2x-2x+4=x(x-2)-2x+4=x(x-2)-2(x-2)=(x-2)(x-2)
      Sada naša jednačina postaje:
      (x-2)(x-2)(x-2)=0
      Odnosno:
      {{(x-2)}^{3}}=0
      Odavde se nastavlja kao u prethodnom slučaju.

      Nadam se da nisam previše iskomplikovao rešenje.
      Pozdrav
      Bojan

  27. sanja
    29. May 2013. at 12:23 pm

    cao Bojane ,
    sutra imamo pismeni iz matematike pa vježbam i nisam sigura da mi je tačna ova nejednačina :

    2×-3 3x – 1 x
    ———- + ———– da je manje ili jednako od 1- —
    3 2 6

  28. sanja
    29. May 2013. at 12:24 pm

    2×-3 3x – 1 x
    ———- + ———– da je manje ili jednako od 1- —
    3 2 6
    ovako ide nejednačina gore se nije dobro poslalo

    • sanja
      29. May 2013. at 1:42 pm

      Cao Bojane ,
      moram vas pitati makar za objašnjenje ovog zadatka ,ako mi već ne možete uraditi jer mi nije jasan :Krajnje tačke A i B tetive AB djele kružnicu u odnos 5:3 . Odredi pod kojim se uglom ta tetiva vidi iz bilo koje tačke manjeg ili većeg kružnog luka .
      to je taj zadatak sjutra mi j epismeni pa vas molim da mi što prije uradite ,jer mislim da će biti .
      unaprijed zahvalna,
      Sanja lagator

      P.S
      pomaži ako znaš jer ako na ovaj pismeni ne dobijem pet neće mi dati ni za kraj godine .
      sve zavisi od tebe !

      • 29. May 2013. at 11:02 pm

        Nema problema :) .
        Zadatak je vrlo sličan zadatku koji ste mi ranije poslali. Naime, kako je kružnica podeljena na dva kružna luka u odnosu 5:3, u istom odnosu biće i centralni uglovi nad tim lukovima. Označimo te uglove sa \alpha i \beta (crveni i plavi uglovi na slici).
        Uglovi
        Dakle, o njima znamo da čine pun ugao, odnosno da je:
        \alpha +\beta =360{}^\circ ,
        i da se međusobno odnose kao 5:3, to jest:
        \alpha :\beta =5:3
        Odavde primenom računa podele dobijamo da je \alpha =5k i \beta =3k.
        Zamenimo ovo u jednačini \alpha +\beta =360{}^\circ i dobijamo:
        5k+3k=360{}^\circ ,
        to jest
        8k=360{}^\circ ,
        pa je
        k=45{}^\circ
        Sada možemo da izračunamo uglove \alpha i \beta .
        \alpha =5k=5\cdot 45{}^\circ =225{}^\circ
        \beta =3k=3\cdot 45{}^\circ =135{}^\circ
        Ako pažljivo pročitamo zadatak videćemo da se od nas traži da odredimo pod kojim se uglom ta tetiva vidi iz bilo koje tačke manjeg ili većeg kružnog luka, a to su, u stvari, periferijski uglovi nad upravo određenim centralnim uglom \beta .
        Setimo se da je periferijski ugao nad tetivom dvostruko manji od centralnog ugla nad istom tetivom, pa je traženi ugao dvostruko manji od ugla \beta , odnosno \frac{\beta }{2}=\frac{135{}^\circ }{2}=67{}^\circ 30'. Ovo je ugao pod kojim se ta tetiva vidi sa bilo koje tačke na većem kružnom luku (zeleni ugao na slici).
        Sa druge strane, ugao pod kojim se ta tetiva vidi iz bilo koje tačke kraćeg luka je polovina ugla \alpha , pa je \frac{\alpha }{2}=\frac{225{}^\circ }{2}=112{}^\circ 30'.
        Dakle, traženi uglovi su 67{}^\circ 30' i 112{}^\circ 30'.
        Puno sreće sutra na pismenom. ;)

        Pozdrav
        Bojan

  29. sanja
    29. May 2013. at 12:27 pm

    velika razlomačka crta ,pa gore 2x – 3 a dole 3 ,minus pa velika razlomačka crta iznad 3×-1 ispod 2 ,da je manje ili jednako 1- x kroz 2. evo je izvini što ti dva puta šaljem pogrešno nadam se da ćeš razumeti ovu .
    srdačan pozdrav

    • 29. May 2013. at 1:55 pm

      Ako sam dobro razumeo, u pitanju je sledeća nejednačina:
      \frac{2x-3}{3}-\frac{3x-1}{2}\le \frac{1-x}{2}
      Rešavaćemo je koristeći istu proceduru kao za rešavanje jednačina, dakle, nejpre ćemo se psloboditi razlomaka (jer zagrada nema). To radimo tako što celu nejednačinu množimo sa NZS svih imenioca (NZS(3,2,2)=6).
      6\cdot \frac{2x-3}{3}-6\cdot \frac{3x-1}{2}\le 6\cdot \frac{1-x}{2}
      Ne smemo da zaboravimo da brojiocima dodamo zagrade jer sadrže sabiranje (+) i oduzimanje (-):
      6\cdot \frac{(2x-3)}{3}-6\cdot \frac{(3x-1)}{2}\le 6\cdot \frac{(1-x)}{2}
      Skraćivanjem dobijamo nejednačinu:
      2\cdot (2x-3)-3\cdot (3x-1)\le 3\cdot (1-x)
      Oslobađanjem od zagrada (korišćenjem osobine distributivnosti) dobijamo:
      4x-6-9x+3\le 3-3x
      Sada prebacujemo nepoznate levo, a poznate desno pazeći pri tome da članovi koji menjaju stranu, menjaju i znak:
      4x-9x+3x\le 3+6-3
      Sređivanjem leve i desne strane dobijamo:
      -2x\le 6
      Sada nam problem pravi minus sa leve strane. Da bismo se oslobodili njega možemo nejednačinu pomnožiti sa -1. Ovde treba biti pažljiv jer kada nejednačinu množimo negativnim brojem, znak nejednakosti se menja (≤ postaje ≥):
      2x\ge -6
      I rešavanjem ove proste nejednačine dobijamo:
      x\ge \frac{-6}{2}
      Odnosno:
      x\ge -3

      Nadam se da je pomoglo i držim vam palčeve sutra. ;)

      Pozdrav
      Bojan

  30. sanja
    30. May 2013. at 5:38 am

    Cao Bojane ,
    Puno ti hvala na pomoći i naravno na objašnjenju
    sanja

    • 30. May 2013. at 9:34 pm

      Nema na čemu. Nadam se da će pomoći.

      Pozdrav
      Bojan

  31. sanja
    4. September 2013. at 2:36 pm

    cao Bojane
    molim te mozes li mi ovaj zadatak uradit za sutra jer mi je hitno a nisam sigurna kako se radi nije mi bas jasno :
    U jednoj skoli ima 760 učenika i nastavnika.Djecaka ima 8 puta vise nego nastavnika,a broj djevojcica prema broju djecaka je 5:4.Koliko je u toj skoli djecaka,koliko nastavnika,a koliko djevojcica?
    Unaprijed hvala .
    sanja

  32. sanja
    5. November 2013. at 3:06 pm

    Cao Bojane,
    Nisam bila skoli pa mi nisu jasni neki zadatci ,nadam se da ces mi moci objasniti preko interneta jer su zadatci iz oblasti geometrije.
    1. Ravan φ prolazi kroz središte duži AB.Dokaži da se krajnje tačke te duži nalaze na jednakom rastojanju od ravni φ .
    2.Ravan φ prolazi kroz diagonalu BD paralelograma ABCD.Dokaži da se tjemena A i C nalaze na jednakom rastojanju od ravni φ .
    3.Krajnja tačka B duži AB pripada ravni φ , a iz krajnje tačke A povučena je normala AC na tu ravan.Povuci sredje duži pravouglog trougla ABC i odredi rastojanje središta duži AB od ravni φ ako je rastojanje tačke A od te ravni je4dnako 6 cm .
    4. Ravan φ sadrži stranicu AB paralelograma ABCD.Odredi rastojanje od tačke u kojoj se sijeku dijagonale AC i BD do ravni φ , ako je rastojanje tjemena C i D od te ravni jednako 4 cm.
    5.Krajnje tačke duži AB nalaze se sa icte strane ravni φ .Iz tačaka
    A i B spuštene su normale AC i BD do ravni φ ,ako je rastojanje tjemena C i D od te ravni jednako 4cm.
    Molim vas da mi ove zadatke odradite sa crtežom jer mi je to potrebno.
    Molim se da ćeš mi što prije moći uuraditi zadatke potrebna su mi makar dva.
    Unaprijed zahvalna na svemu do sada .
    Sanja Lagator

    • 27. November 2013. at 8:44 pm

      Sanja, na žalost, nisam uspeo da odgovorim na vreme i izvinjavam se zbog toga. Imao sam previše obaveza pa sam malo zapostavio blog. :(

      • sanja
        2. December 2013. at 1:45 pm

        Nema nikakvih problema .Molim vas da mi uradite ovaj zadatak :
        Dužina ivica dvije kocke se odnose kao 3:2,a njihove površine se razlikuju za 120 cm na kvadrat.izračunaj ivice kocke.,unaprijed hvala !! :)

      • 2. December 2013. at 10:58 pm

        Dužina ivica dvije kocke se odnose kao 3:2,a njihove površine se razlikuju za 120 cm na kvadrat.

        Naravno, nema problema.
        Obeležimo dužinu ivice jedne kocke sa a, a druge sa b. Prema uslovima zadatka, važi da je
        a:b=3:2
        Pravilo proporcije nam kaže da je proizvod spoljašnjih članova, jednak proizvodu unutrašnjih, pa imamo da je:
        2\cdot a=3\cdot b
        2a=3b
        Odnosno:
        a=\frac{3b}{2}
        Sa druge strane, opet prema uslovima iz zadatka, imamo da se njihove površine razlikuju za 120c{{m}^{2}}. Površina jednog kvadrata je {{a}^{2}}, a drugog {{b}^{2}}, pa je njihova razlika:
        {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=120
        Ako a zamenimo sa \frac{3b}{2} (jer je, prema prethodnom, a=\frac{3b}{2}), dobićemo:
        {{\left( \frac{3b}{2} \right)}^{2}}-{{b}^{2}}=120
        Sada smo dobili običnu jednačinu sa jednom nepoznatom koju nije teško rešiti. Naime, oslobodimo se najpre zagrade:
        \frac{{{\left( 3b \right)}^{2}}}{{{2}^{2}}}-{{b}^{2}}=120
        \frac{{{3}^{2}}{{b}^{2}}}{4}-{{b}^{2}}=120
        \frac{9{{b}^{2}}}{4}-{{b}^{2}}=120
        Sada se oslobodimo razlomka tako što celu jednačinu množimo sa njegovim imeniocem, odosno sa 4:
        4\cdot \frac{9{{b}^{2}}}{4}-4\cdot {{b}^{2}}=4\cdot 120
        9{{b}^{2}}-4{{b}^{2}}=480
        5{{b}^{2}}=480
        {{b}^{2}}=\frac{480}{5}
        {{b}^{2}}=96
        b=\sqrt{96}
        b=\sqrt{16\cdot 6}
        b=\sqrt{16}\cdot \sqrt{6}
        b=4\sqrt{6}cm
        Dužinu stranice drugog kvadrata dobijamo iz veze a=\frac{3b}{2}:
        a=\frac{3\cdot 4\sqrt{6}}{2}
        a=\frac{12\sqrt{6}}{2}
        a=6\sqrt{6}cm
        Provera:
        Proverimo najpre u kakvom su odnosu stranice a i b:
        a:b=\frac{a}{b}=\frac{6\sqrt{6}}{4\sqrt{6}}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=3:2
        Dakle, važi a:b=3:2 pa je prvi uslov iz zadatka ispunjen.
        Nađimo sada razliku između površina ova dva kvadrata. Površina prvog kvadrata je:
        {{a}^{2}}={{\left( 6\sqrt{6} \right)}^{2}}={{6}^{2}}\cdot {{\sqrt{6}}^{2}}=36\cdot 6=216
        Površina drugog kvadrata je:
        {{b}^{2}}={{\left( 4\sqrt{6} \right)}^{2}}={{4}^{2}}\cdot {{\sqrt{6}}^{2}}=16\cdot 6=96
        Razlika između površina ova dva kvadrata je
        {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=216-96=120c{{m}^{2}}
        Pa je i drugi uslov iz zadatka ispunjen, što znači da nam je dobijeno rešenje tačno. :)

        Pozdrav.
        Bojan

  33. Saša
    27. November 2013. at 1:34 am

    ne razumijem u cetvrtim primjeru kako ispane 6*5x posto 30 dojelimo sa 5 tako dobijemo 6 a gdje sada ode ono 3x

    • 27. November 2013. at 8:42 pm

      Mea culpa. Greška mi se provukla kroz skriptu jer sam menjao neke primere. Na originalnoj skripti sam je ispravio, ali sam zaboravio da je ispravim na blogu.
      Hvala najlepše što ste mi ukazali na nju, Saša.

      Pozdrav.
      Bojan

  34. 11. December 2013. at 4:12 pm

    Hitno mi je potrebna pomoc oko ovog zadatka:Zbir cifara dvocifrenog broja je 12.Ako im zamjenimo mjesta dobicemo broj koji je za 18 veci od zadanog broj.koji je to broj?Hvala unaprijed

    • 11. December 2013. at 4:56 pm

      Naravno, nema problema.
      Naime, neka su to cifre a i b.
      Znamo da je njihov zbir 12, pa važi:
      a+b=12
      Sa druge strane, svaki dvocifreni broj možemo da napišemo na sladeći način:
      \overline{ab}=10\cdot a+b (na primer, 48=10\cdot 4+8)
      Kada im zamenimo cifre, dobićemo broj
      \overline{ba}=10\cdot b+a
      Dobijeni broj je za 18 veći od zadanog broja, pa je:
      \overline{ba}=\overline{ab}+18
      Sada zamenimo prethodno dobijene izraze i dobijamo:
      (10\cdot b+a)=(10\cdot a+b)+18
      Sređivanjem ovog izraza dobijamo:
      10\cdot b+a=10\cdot a+b+18
      10b+a-10a-b-18=0
      9b-9a=18
      Dobijamo sistem od dve jednačine sa dve nepoznate:
      a+b=12
      9b-9a=18
      Ovaj sistem možemo da rešimo, bilo smenom, bilo metodom suprotnih koeficijenata. Primenimo, na primer, ovaj drugi. Gornju jednačinu množimo sa 9:
      9a+9b=108
      -9a+9b=18
      Sabiranjem ove dve jednačine dobijamo:
      9a-9a+9b+9b=108+18
      18b=126
      b=\frac{126}{18}
      b=7
      Dobili smo da je cifra b 7. Znamo da je zbir cifara 12, pa je cifra a=12-7=5.
      Dakle, traženi broj je 57.
      Provera je vrlo jednostavna.
      Zbir cifara broja 57 je 5+7=12.
      Ako ciframa zamenimo mesta, dobićemo broj 75 koji je za 18 veći od početnog broja 57. :)

      Pozdrav.
      Bojan

  35. sanja
    11. January 2014. at 11:19 am

    Bojane ,
    Molim te možeš li mi riješiti nekoliko zadataka ,nisam bila u skoli kada smo ucili a moram uraditi diomaci :
    1. Dužina osnovne ivice pravilne trostrane piramide je 3 cm, a površina omotača
    je dva puta veća od površine osnove. Odrediti dužinu visine bočne strane.
    2. Riješiti nejednačine 260x−≥ i 22xx−≤ skupu R i odrediti njihova zajednička
    rješenja.
    MOLIM TE STO PRIJE MAKAR DO KRAJA RASPUSTA 20 . JANUARA
    UNAPRIJED ZAHVALNA
    sanja lagator

    • sanja
      26. January 2014. at 7:33 pm

      Cao Bojane,molim te da mi uradis moze i posle kad god stignes ali samo da znam rjesenje
      Unaprijed zahvalna
      Sanja

    • 27. January 2014. at 11:17 am

      Dužina osnovne ivice pravilne trostrane piramide je 3 cm, a površina omotača je dva puta veća od površine osnove. Odrediti dužinu visine bočne strane.
      Dakle, treba naći dužinu visine bočne strane, odnosno apotemu (označimo je sa h), dok nam je data dužina stranice a=3cm. Za to nam može poslužiti formula kojom računamo površinu omotača pravilne trostrane piramide:
      M=3\frac{ah}{2}
      M možemo naći iz uslova zadatka da je površina omotača dva puta veća od površine osnove, odnosno:
      M=2\cdot B
      Osnovu date piramide čini pravilan trougao (odnosno jednakostraničan trougao) čiju površinu računamo pomoću formule:
      B=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}
      Kako znamo da je a=3cm, dobijamo:
      B=\frac{{{3}^{2}}\sqrt{3}}{4}
      B=\frac{9\sqrt{3}}{4}
      Sada zamenimo u prthodnoj formuli i dobijamo:
      M=2\cdot B
      M=2\cdot \frac{9\sqrt{3}}{4}
      M=\frac{9\sqrt{3}}{2}
      Sada kada imamo M i a, možemo naći h:
      M=3\frac{ah}{2}
      \frac{9\sqrt{3}}{2}=3\frac{3\cdot h}{2}
      \sqrt{3}=h
      I dobijamo da je h=\sqrt{3}cm.

      Drugi zadatak, na žalost, ne razumem. Probaj da ga otkucaš malo bolje.
      Pozdrav. :)

  36. Armin
    4. March 2014. at 8:42 pm

    hvala puno!!! Dosta sam naucio iz ovoga!!! :D

    • 17. May 2014. at 11:27 pm

      Nema na čemu. Drago mi je da je tekst od koristi. :)

  37. 18. May 2014. at 8:04 pm

    Odlican blog, odlicno objasnjenje, sve pohvale administratoru. Pozdrav

  38. 3. September 2014. at 12:34 pm

    jel moze rjesenje nejednacine molim vas…20xY-400>9600 hvala unaprijed

    • 3. September 2014. at 3:25 pm

      Može, naravno.
      Polazimo od nejednačine
      20y-400>9600
      Prebacujemo -400 sa leve na desnu stranu, te menja znak u +400
      20y>9600+400
      pa imamo da je
      20y>10000
      Odavde je
      y>10000:20
      pa je rešenje
      y>500
      Nadam se da će pomoći. ;)

  39. 4. February 2013. at 4:23 pm

    nerminaer :

    Mozeteli da mi resite ovu jednacinu molim vas :Zbir prvog i cetvrtog clana niza, koji cine cetiri uzastopna cijela broja,jednak je zbiru drugog i treceg clana.Koji su to brojevi?

  40. 4. February 2013. at 10:17 pm

    Naravno.
    Dakle, u pitanju su četiri uzastopna prirodna broja, pa ako je x prvi od njih, ostali će biti x+1, x+2 i x+3.
    Prvi član je x, a četvrti x+3. Sa druge strane drugi član je x+1, a treći x+2.
    Zbir prvog i ćetvrtog je x+(x+3), dok je zbir drugog i trećeg (x+1)+(x+2).
    Ova dva zbira su, kako stoji u zadatku, jednaka, pa je:
    x+(x+3) = (x+1)+(x+2)
    Oslobodimo se zagrada i dobićemo
    x+x+3 = x+1+x+2
    odnosno
    2x+3 = 2x+3.
    Prebacivanjem nepoznatih na levu, a poznatih na desnu stranu dobijamo:
    2x-2x = 3-3
    odnosno:
    0 = 0
    Ovo znači da ova jednakost važi za bilo koji ceo broj x, što znači da će rešenje našeg zadatka biti bilo koja četiri uzastopna prirodna broja.
    I zaista, odaberite bilo koja četiri UZASTOPNA prirodna broja i poređajte ih po veličini. Kada saberete prvi i poslednji dobićete isti zbir kao i kada saberete drugi i treći.
    Na primer, odaberimo brojeve 10, 11, 12 i 13.
    Kada saberemo prvi i poslednji dobićemo 10 + 13 = 23, što je isto kao i kada saberemo drugi i treći član 11 + 12 =23.

    Nadam se da će objašnjenje biti korisno.
    Pozdrav

  1. No trackbacks yet.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 38 other followers

%d bloggers like this: